凯利判据是效应函数为「log 函数」的投资者（或赌徒）的决策方式。
假设投资者初始本金为 1 ，一次投资可选择投入本金$ x$，有$ p$ 的概率赢，获得正收益$ r_1x$，有$ 1-p$ 的概率输，输掉$ r_2x$，那么效应函数为：
$$ f(x) = p \log(1 + r_1x) + (1-p)\log(1-r_2x) $$
凯利判据就是投资者每次都采取最大化上述效应函数的投资方式。直接对$ x$求导，可得出最优值表达式为：
$$ \arg\max_x f(x) = \frac{pr_1 - (1-p)r_2}{r_1r_2}$$
它有三种简单情况：
- $ r_1=r_2=1$，即如果赢了获得同样本金，如果输了失去投入的本金。此时判据的结果形式最简单，投资者每次应当投入$ 2p-1$的本金。
- $ r_2=1$，即如果输了就失去投入的本金，但赢了会有一定的赔率。这个也是大多数赌场的运行模式。此时每次应投入$ p-\frac{1-p}{r_1}$的本金。
- $ p=\frac12$，也就是一半概率赢，一半概率输。此时每次应投入$ \frac{r_1-r_2}{2r_1r_2}$ 的本金。
