用凯利判据做组合优化和资产配置 II

作者: , 共 1385 字

用凯利判据做组合优化和资产配置I

在前面一篇文章里已经谈了什么是凯利判据、如何利用凯利判据做组合优化和资产配置,这里继续讨论实际操作,直接给出数学模型、求解代码。

1. 数学模型

假设有\( N\) 种备选资产,它们预期收益率为\( \mu\) ,其中\( \mu\) 为一个长度为\( N\) 的行向量,资产之间的协方差矩阵为\( \Sigma\) 。现在假设投资者在各个资产上的配置权重向量为\( w\) ,它是一个长度为\( N\) 的列向量,那么这个资产组合的收益率为\( \mu w\) ,波动率为\( \sqrt{w'\Sigma w}\) ,即收益符合正态分布\( N(\mu w, \sqrt{w'\Sigma w})\) ,不妨记\( \alpha=\mu w, \sigma= \sqrt{w'\Sigma w}\) ,由于凯利判据是指投资者具有\( \log\) 的效用函数,故我们需最大化下式

$$\max \left[\mathrm{E}_{x\sim N(\alpha, \sigma^2)} \log(1+x)\right]$$

由于很难估计\( \mathrm{E}(\log(1+x))\) ,实际操作中利用\( \log(1+x)\)\( 1+\alpha\) 处的泰勒展开式将上式展开为

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{E}(\log(1+x))&=&\mathrm{E} \left(\log(1+\alpha)+\frac{x-\alpha}{1+\alpha}-\frac{(x-\alpha)^2}{(1+\alpha)^2}+\cdots\right)\\&=&\log(1+\alpha)-\frac{\sigma^2}{2(1+\alpha)^2}+O(\frac{\sigma^4}{4(1+\alpha)^4})\end{array}$$

舍去最后的小项,求解凯利判据即求解下面最优化问题

$$\max \left[\log(1+\alpha)-\frac{\sigma^2}{2(1+\alpha)^2}\right]$$

与此对比,马柯维茨组合优化理论的优化对象为

$$\max [\alpha - \lambda \sigma^2]$$

其中\( \lambda\) 为投资者的风险厌恶系数。注意到\( \alpha \sim 0, \log(1+x)\sim x\) ,凯利判据近似于风险厌恶系数为\( \lambda=0.5\) 的马柯维茨组合优化!

\( 0.5\) 是一个较低的风险厌恶水平,故凯利判据得到的结果对波动的惩罚较小,其结果的波动率较大。

2. 求解代码

\( \alpha=\mu w, \sigma= \sqrt{w'\Sigma w}\) 代入,我们需要求解资产权重向量\( w\)

$$w = \text{argmax } \left[\log(1+\mu w)-\frac{w'\Sigma w}{2(1+\mu w)^2}\right]$$

求解此式的麻烦之处在于目标函数不是凸函数,无法直接对它进行最优化求解。下面提供的代码通过先固定目标组合的收益,然后最小化组合的波动率求解(相当于枚举效率前沿上的点)。

下载地址

Q. E. D.

类似文章:
相似度: 0.358
投资 » 凯利判据
凯利判据(英文 wikipedia)是一种人们在面对不确定事物时的选择标准,更准确地说,凯利判据是效应函数为「log 函数」的投资者(或赌徒)的决策方式。下面直接用一个例子来说明:
标准的期望-方差组合优化目标中有一个参数\( \lambda\)
最近看了几个风险管理和组合管理系统,有几个系统里附带了组合优化模块,也了解到这一方面工业界的最新成果。最新的组合优化模块被称为第二代最优化模型,主要成果就是二阶锥优化算法的应用,其中一个重要的改进为对 alpha 估计的不准确性考虑在内。
继续写 Mathematical techniques in finance 这本书的笔记,这是第二篇,第一篇是One-Period 模型和无套利定价
过于集中持股风险较大是投资界的常识,俗话说不要把鸡蛋放在一个篮子里。在实际投资中中国的公募基金就有严格的 10%的个股持仓上限。
相似度: 0.123
CAPM 公式是指一个组合的预期收益率可以用它的不可分散风险大小所刻画,在数学上,它可以表示为一个组合\( p\) 的收益率\( r_p\) 的表达式:
风险管理 » VaR Primer
在计算 VaR 之前,需要先明确所计算 VaR 的参数。最重要的两个参数为时间期限和置信度,前者对应所需衡量风险的时间段,后者对应风险的容忍度。
移动平均\( \text{ema}(x,n)\) 是指按照如下方法计算指标
相似度: 0.089
首先申明一下,赌博是不对的,下面的讨论也更多是理论性的。
编程 » vbs, 办公自动化
工作中或多或少有些琐碎的事情,比如每天要发送和接受数据,很多是通过邮件的方式传递的。之前写过如何在 Outlook 里自动保存附件,这里再发一个如何更方便地发送带附件的邮件。