风险厌恶系数的影响、敏感性和选取方法

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标准的期望 - 方差组合优化目标中有一个参数 \( \lambda\)

$$\max_w [\alpha w - \lambda w' \Sigma w]$$

或者(有基准存在时,其中 \( w_b\) 为基准组合的配置权重):

$$\max[\alpha(w-w_b)-\lambda(w-w_b)'\Sigma(w-w_b)]$$

这个参数一般被称为风险厌恶系数,它依赖于投资者的效应函数(效应函数的定义可参考 组合优化中的风险和收益 )。但投资者的效应函数是非常难确定的,在实际使用中需要直接估计该参数。来自 MSCI Barra 的一篇 Research Insights[ PDF ] 讨论了该参数对模型结果的影响,以及在实际工作中如何确定这个 \( \lambda\)

1. \( \lambda\) 对优化结果的影响

当优化设计到复杂的目标项和限制条件时, \( \lambda\) 对结果的影响也可能是相当复杂的。但当目标函数为简单的期望 - 方差方程,且资产权重和为 1 为唯一限制条件时,问题变得简单很多。事实上,此时效率前沿和 \( \lambda\) 是一一对应的,当 \( \lambda\) 从 0 变到无穷大时,最优组合从效率前沿的右上角下移到左下角。对于其它指标,定性地看有以下结论, 随着风险厌恶系数的增大:

1、最优资产组合的收益、风险、目标函数值都减少。

2、最优资产组合的 Sharp Ratio 先增后减。

定量地看,先定义两个资产组合,其一为最小风险组合 \( w_c\) ,另一个为最大 Sharp Ratio 组合 \( w_a\) ,即

$$w_a = \text{argmax}_w \max_{\sum w = 1} \frac{\alpha'w}{\sqrt{w'\Sigma w}} $$
$$w_c = \text{argmax}_w \max_{\sum w = 1} (w'\Sigma w) $$

那么标准的期望 - 方差组合优化方程有显式解:假设 \( \lambda_a\) 为组合 \( w_a\) 对应的风险厌恶系数,那么对于一般的 \( \lambda\) ,最优解为最小风险组合和最大 Sharp Ratio 组合的线性组合:

$$w = w_c+\frac{\lambda_a}{\lambda}(w_a-w_c)$$

如果有基准,那么解为基准组合、最小风险组合和最大 Sharp Ratio 组合三者的线性组合:

$$w = w_b+\frac{\lambda_a}{\lambda}(w_a-w_c)$$

这些显式解可显式地求出各个指标与 \( \lambda\) 之间的关系,从而验证上面的定性结论。

2. \( \lambda\) 估计误差对结果的影响

如果限制条件和目标函数简单, \( \lambda\) 对优化结果的影响较小,这从 \( w\) 的表达式可以看出,其一阶导数为

$$\frac{\partial w}{\partial \lambda} = -\frac{\lambda_a}{\lambda^2}(w_a-w_c)$$

由于 \( \lambda\) 通常都在 1 附近,上面的一阶导数说明结果对 \( \lambda\) 的敏感性较低。

但在实际使用中需要注意,当引入一些特殊的限制条件(比如对于风险的限制、对于持有权重的限制),通常一个参数的改变会带来结果的较大跳跃。故 对于较为复杂的组合优化,需对参数进行敏感性测试

3. 实际使用中如何选取 \( \lambda\)

定性地看,风险厌恶系数与投资者的风险偏好相关,越偏好风险,风险厌恶系数可设得越小。如果要定量地确定该系数,实际操作中可以使用下面方法:

1、对于有经验的投资者和资产管理者,可以直接询问「要承受 20% 的年波动,你要求多大的超额收益补偿?」,如果该投资者要求 3% 的超额收益补偿,其风险厌恶系数为 0.03/0.2^2=0.75。

2、效率前沿法。将效率前沿上的资产组合都提供给投资者,让投资者勾选他们认可的资产组合范围,由于效率前沿上的资产组合和 \( \lambda\) 是一一对应的,可从投资者认可的资产组合倒推出他们的风险厌恶系数。

3、市场法。假设一个投资者的可选组合为基准组合和无风险资产,他最后选择满仓持有基准组合,即不持有无风险资产也不进行杠杆投资,那么他的风险厌恶系数为

$$\lambda = \frac{\alpha_b}{2\sigma_b^2}$$

其中 \( \alpha_b,\sigma_b^2\) 分别为基准组合的超额收益和风险。通过目标函数的一阶导数为 0 便能得到该公式。

Barra 内设的参数便是使用这种方法, 美国市场(基准为 S&P 500 )的 \( \lambda\) 为 0.75。用上证指数最近 10 年的数据测算得出中国市场的 \( \lambda\) 约为 0.7。

Q. E. D.

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