从 CML 到 CAPM

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CAPM 公式是指一个组合的预期收益率可以用它的不可分散风险大小所刻画,在数学上,它可以表示为一个组合\( p\) 的收益率\( r_p\) 的表达式:

$$E(r_p) = r_F + \beta(E(r_M)-r_F)$$

其中\( r_F\)\( r_M\) 分别为无风险收益率和市场组合收益率。\( \beta\) 为组合 p 相对于市场组合的敏感性,可定义为

$$\beta = \frac{Cov(r_p, r_M)}{\sigma^2(r_M)}$$

CAPM 不是最准确的定价公式,但肯定是最有名气的,公式简洁优雅。无数次在各类文献中看到这个公式,我一直好奇它怎么来的(一般书上也不写),昨天我自己证明了一下,另外搜索了下文献,证明方法挺多的(但在关键思路上也大同小异)。以下记录我的证明方法。

CAPM 公式的关键在于如何描述「市场组合」。根据 Markwitz 组合理论,任何组合(和单个证券)都可以用预期收益率和波动率刻画,在引入无风险资产并且允许自由借贷时,市场上的有效前沿变成一条由无风险资产点引出的一条射线:

$$E(r_p) = r_F + \frac{\sigma_p}{\sigma_M}(E(r_M)-r_F)$$

这条射线被称为 CML ( capital market line ),市场组合即为 CML 上的一个组合, CML 本身并没有刻画市场组合的数学特征。但通过 CML 为市场有效前沿这点可以得到:市场组合的 Sharp 率是所有组合里最高的,也即对于任何一个组合 p ,均有:

$$\frac{E(r_p) - r_F}{\sigma_p} \leq \frac{E(r_M)-r_F}{\sigma_M}$$

从这个不等式可以得到 CAPM 公式。假设对某个组合(或者单个证券)\( p\)

$$E(r_p) = \alpha + r_F + \beta(E(r_M)-r_F)$$

\( \alpha\neq 0\) ,那么我们可以构造一个组合,使得它位于 CML 的上方,也即它的 Sharp 率比市场组合还要高。这个组合由\( 1-w\) 份市场组合、\( \frac{w}{\beta}\)\( p\)\( w-\frac{w}{\beta}\) 份无风险资产组合而成,其中\( w\) 为待定参数。用\( Q\) 表示这份组合,其预期收益率为

$$E(r_q) - E(r_F) = E(r_M) - E(r_F) + \frac{w\alpha}{\beta}$$

其方差为:

$$\begin{array}{rcl}\sigma^2_q &=& (1-w)^2\sigma_M^2+\frac{w^2}{\beta^2}\sigma_p^2+2(1-w)\frac{w}{\beta}Cov(r_p, r_M)\\&=&(1-w)^2\sigma^2 + \frac{w^2}{\beta^2}\sigma_p^2+2w(1-w)\sigma_M^2\\&=&(1-w^2)\sigma_M^2+\frac{w^2}{\beta^2}\sigma_p^2 \\&=&\sigma_M^2+\frac{w^2}{\beta^2}(\sigma_p^2-\beta^2\sigma_M^2)\\\end{array}$$

对应波动率为

$$\sigma_q = \sigma_M + \frac{w^2}{2\beta^2}(\sigma_p^2 - \beta^2\sigma_M^2) + o(w^2)$$

其中\( o(w^2)\) 表示\( w\) 的二阶无穷小量。当\( w\) 足够小并且与\( \alpha\) 同正负时,\( q\) 的 Sharp 比例将大于\( M\) 的 Sharp 比例:

$$\frac{E(r_q)-r_F}{\sigma_q} = \frac{E(r_M) -r_F+ w\frac{\alpha}{\beta}}{ \sigma_M + w^2(\frac{\sigma_p^2}{\beta^2}-\sigma_M^2) + o(w^2)} > \frac{E(r_M) - r_F}{ \sigma_M }$$

这与\( M\) 为市场组合的性质所矛盾。从而\( \alpha\) 必为 0 , CAPM 公式得证。

Q. E. D.

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