移动平均的系数为什么是 \(\frac{2}{n+1}\)

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移动平均\( \text{ema}(x,n)\) 是指按照如下方法计算指标

$$X_t = (1 - \alpha) \times X_{t-1} + \alpha \times x_t$$

其中 \( \alpha\) 被称为衰减系数。一般取

$$\alpha=\frac{2}{n+1}$$

为什么?

某种程度上,这是一种约定俗成。而最开始的来源可能与数据的样本期有关,这个\( \alpha\) 的取法可以让数据的样本期和普通移动平均保持一致。

以普通移动平均\( \text{ma}(x,n)\) 为例,样本期分别为 \( 0, 1, \cdots, n-1\) ,对应平均样本期为 \( \frac{n-1}{2}\)

在指数移动平均\( \text{ema}(x,n)\) 中,样本期分别为 \( 0,1,\cdots\) ,对应概率为 \( \alpha,(1-\alpha)\alpha,(1-\alpha)^2\alpha,\cdots\) ,平均样本期为

$$\sum_k k(1-\alpha)^k\alpha = \frac{1-\alpha}{\alpha}$$

若样本期要保持一致,即

$$\frac{1-\alpha}{\alpha}=\frac{n-1}{2}$$

即可得

$$\alpha=\frac{2}{n+1}$$

Q. E. D.

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