如何计算对冲=期货数量

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1. 股指期货的对冲

假设我手里有一些股票,成分和指数差不多,想用股指期货去对冲,应该卖空多少数量的股指期货?

一种直观的方法是,假设股指期货实物交割(虽然实际上不是),卖空股指期货的数量恰好使得期货到期时把手中现货股票全部交割给对方,亦即:

$$\begin{equation}n = \frac{M}{mP}\label{stockfuture1}\end{equation}$$

这其中 \( M\) 为所持股票的市值, \( P\) 为股指点位, \( m\) 为期货的合约乘数。

另外一个方法是从敏感性的角度来考虑,如果现货市值每变动 \( \text{d}P\) ,对应每个期货合约市值变动 \( \text{d}F\) ,那么每手现货需要卖空的期货合约数量为 \( \frac{\text{d}P}{\text{d}F}\)

更进一步地,假设股票相对于期货的 Beta 为 \( \beta_F\) ,期货价格为 \( F\) ,那么需要卖空期货的合约数量为:

$$ \begin{equation}n = \frac{P\beta_F}{mF}\label{stockfuture2}\end{equation}$$

CFA 教材用的是第二种方法,《选择和未来》这本书也是。之前我在看 CFA 教材时还比较疑惑,这次看《选择和未来》才明白。原来上面这种两种方法异曲同工。这根源在于,式子(\ref{stockfuture2})里的期货价格 \( F\) 和现货 Beta 都是理论值,而不是市场实际价格,亦即(暂不考虑分红等因素):

$$F = Pe^{-rt}$$
$$\beta_F = e^{-rt}$$

如果将这两个表达式代入(\ref{stockfuture2}),得到的结果就是(\ref{stockfuture1})。

2. 债券期货的对冲

接下来考虑债券期货。假设手里有 1000 万债券需要对冲,每手国债期货的面值为 100 万。为了方便,假设该债券就是该国债期货的最便宜交割债券。债券期货也有上面两种考虑的角度:

  • 从最终实物交割的角度上看,我们需要卖空 10 手债券期货。到期时,直接交割 1000 万债券。
  • 从每日结算的角度上看,假设债券期货的转换因子为 c ,那么这个 c 可以看作为现货相对于期货的 Beta ,亦即我们需卖空的债券期货的数量为 \( 10c\) 。比如该债券的转换因子为 1.2 ,那么我们应该卖出 12 手债券期货。

和在处理股票期货时两种方法殊途同归不一样,这里两种方法得到的结果截然不同。实际操作应该选择第二种,但总是很别扭,因为这样卖空时,还需要到期时从市场上买入或卖出债券来进行交割,这和期货的本意相去甚远。

Q. E. D.

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