什么是凯利判据

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凯利判据(英文 wikipedia)是一种人们在面对不确定事物时的选择标准,更准确地说,凯利判据是效应函数为「log 函数」的投资者(或赌徒)的决策方式。下面直接用一个例子来说明:

一个赌徒可下注一场赌博,他有\( p\) 的概率赢回同样多的本金,另\( 1-p\) 的概率输掉从而失去下注的本金。假设\( p>1/2\) 和初始本金为\( 1\) ,他应该下注多少?

假设该赌徒下注了\( x\) ,那么有\( p\) 的概率期末资产为\( 1+x\) ,另\( 1-p\) 的概率期末资产为\( 1-x\) 。由于该赌徒具有\( \log\) 的效应函数,他的期末资产的效应函数为

$$f(x) = p\log(1+x)+(1-p)\log(1-x)$$

该赌徒应该选取\( x\) 使得有最大的期末效用,即最大化上面的\( f(x)\) 。求解\( f'(x)=0\) 便知赌徒应该下注\( 2p-1\)

1. 得出凯利判据的其它角度

经典的组合管理理论认为风险是由波动导致的投资者效应函数的损失,比如对投资者而言,涨 50%获得的效用要比跌 50%失去的效应少,故投资者不会投资于同等概率涨跌 50%的资产。

但凯利判据认为,涨 50%和跌 50%本身就是不一样的,比如先涨 50%再跌 50%,投资者会损失 25%。正确衡量投资率的方法是使用连续复合增长率( continuously compounded return )。一个收益率\( r\) 对应的连续复合收益率为\( \log (1+r)\) 。而上面的凯利判据即为最优化连续复合收益率的期望值。

凯利判据也可以看作为优化\( f(x) = (1+x)^p(1-x)^{1-p}\) ,即优化期末资产的几何平均值(注意一般的组合理论直接优化算术平均数也就是期望值)。

Q. E. D.

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