如何计算投资收益率

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某些人对绩效评估和分解不屑一顾,认为没必要那么复杂,不就比比谁赚的钱多就行了吗?问题没有那么简单。

首先,直观地说,一个人用 100 万本金赚到了 10 万,跟一个人只用 10 万本金赚到 10 万,显然后者的表现更好。所以第一个结论:在进行绩效评估的时候,不能光看收益额,而要看收益率:相对于其本金的收益

那么,收益率可以被简单理解为收益除以本金吗?也不行,这里面的东西远比想象中复杂。简单地说,如何计算收益率,依赖于你评估的角度。不同的角度得出的结论可能截然相反。

下面先给出一个这样的例子。

假设有甲、乙两个投资人,分别投资于两只基金 A 和 B ,这两只基金都投资于中国 A 股股市。为了简单起见,我们假设投资为两年期限,恰好为中国 A 股市场的 2007 年到 2008 年。

甲在 2007 年投资了 100 万到 A ,然后 A 这一年赚了 120%;甲一看赚了钱,马上追加了 200 万,结果 2008 年这只基金亏损 50%。显然,甲损失了 100+200-(220+200)*50%=90 万,平均投入资金为 200 万一年。

乙同样在 2007 年投资了 100 万到 B , B 在这一年赚了 100%,但在年末他撤回了 50 万的本金。B 在第二年亏损了 60%。那么乙在这两年赚了(50+150*40%)-100=10 万。乙的平均投入成本为 75 万每年。

乙用不到一半的成本获得了更高的收益,而甲花了很多钱,最后亏损不少。从这个角度上来说,乙的赚钱能力更强一些。

由于投资人的资金实际都是由两只基金的基金经理来操作,那么能否说第二位投资经理要操作的比第一位投资经理好呢?显然不能,第一位投资经理无论在 2007 年还是 2008 年收益率都要比第二位投资经理收益率更高。

所谓问题归结到:投资者的收益如何计算?基金经理的收益如何计算?

1. 金钱加权法( Money Weighted )

金钱加权法本质上就是内部收益率法。将初始投入视为现金流入(大于 0 ),期末资产视为现金流出(小于 0 ),那么金钱加权收益率即使得现金流的现值等于 0 的折现率。我们使用下述公式:

$$ \sum_{i=1}^T f_{t_i}(1+r)^{-t_i}=0$$

其中\( f_{t_i}\) 为时间点\( t_i\) 上的现金流,\( r\) 为内部收益率。

在金钱加权法中,钱在不同时候收益率是一样的。并且它只对期间整体进行定义,分期的收益率和整体的收益率并无直接的关系。

上述的定义较为复杂,掩盖了金钱加权法的一些本质。事实上,金钱加权收益率近似等于收益额除以平均占用资金。这里平均占用资金是指各期占用资金的算术平均值。这种近似收益率也被称为 Modified Diez Return。

1.1. Modified Dietz Method

假设现金流为\( f_{t_i}, i=0,1\cdots, T\) ,其中\( f_0\) 为期初投资额,期末投资余额为\( -f_{t_T}\) ,那么金钱加权收益率\( r\) 为下述方程的解:

$$\sum_i f_{t_i} (1+r)^{-t_i} = 0$$

注意对\( r\sim 0, x\sim 0\)\( (1+r)^x \sim 1+ rx\) 。上面等式可写成

$$\sum_if_{t_i} (1+(t_T-t_i)r) = 0$$

解出\( r\)

$$\begin{array}{rcl}r &=& \frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^T f_{t_i} (t_T-t_i)}\\&=&\frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^{T-1} (t_{i+1}-t_{i})\sum_{j=0}^{i}f_{t_j}}\end{array} $$

此处分子\( -\sum f_i\) 为投资盈利额,分母为平均占用资金(因为在时间\( t_i\)\( t_{i+1}\) 期间,投入资金恰好为\( \sum_{j=0}^i f_{t_j}\) )。

2. 时间加权法( Time Weighted )

将投资区间分成若干段,每段之间没有现金进出,这样每一段都可以用简单收益率法计算其收益率。时间加权收益率 = ( 1 + 各段收益率)的连乘 - 1

2.1. 日内现金流或现金流时间不确定时处理方法

时间加权法要求将投资区间分为若干段,每段之间没有现金进出。但在某些时候达到这点比较困难。比如每天日内不停地买卖股票,将每个买卖动作都分隔开,是一个无论在计算上,还是在对数据的要求上,都是一个几乎不可能的任务。

一个简单办法是,对于无法细分的时间颗粒(一般是一天),假设颗粒内部还是有现金流流入和流出,那么将流入的现金流都视为一开始就流入,流出的现金流则认为到结束才流出。

即:期间收益率 = (期末市值+流出现金-期初市值-流入资金)/(期初市值+流入资金)

2.2. 实际中使用的时间加权法

由于时间加权法要求在每个现金流时点都需要投资组合的精确估值,对于某些投资组合而言,这一点比较困难。那么在实际使用中,通常在固定的期限内,比如每个月,使用金钱加权法,计算这段期限内的收益率,然后再将各个期间的收益率连乘得到整个期间的收益率。

3. 比较

时间加权法收益率可以理解为在各个时点上的瞬时收益率的累计,而金钱加权收益率可以理解为各个时点上的瞬时收益率,再根据当时投入的资本进行加权的收益率。

从这一点上看就很容易理解在什么时候该用什么收益率。

  • 对于投资经理来说,每个时点上有多少资本根本不是他所能掌控的,所以对投资经理,只能使用时间加权收益率。
  • 而对于投资者而言,他决定了每个时间点上的资本数量,所以对于他的评价必须使用金钱加权收益率。

这样最开始的例子中,基金 A、B 和投资人甲、乙的收益( Performance Measure )评估结果如下:

方式 A 和 甲 B 和 乙
时间加权 基金 A : 10% 基金 B :-20%
金钱加权 投资人甲:-40% 投资人乙: 13.3%

从上面可以看到,甲投资的基金 A 的表现优于乙投资的基金 B ,但甲的收益却不如乙。为什么会出现这种情况?直观看是因为甲的择时能力太差,在熊市重仓牛市轻仓。接下来绩效分解( Performance Attribution )会介绍一些定量的方法来评估各自的贡献。

Q. E. D.

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