[Mathematics-techniques-in-finance]
这本书的前两章是讲 one-period 无套利定价，主要用到的工具为线性代数（矩阵）。
1、One-Period 模型
在 one-period 模型不关心资产价格在期间的变动，而只关心资产在期末的价格。为了方便起见，假设在期末只有$ M$ 种可能的场景，此时一个资产的期末价格可以用一个长为$ M$ 的列向量表示。不妨设第$ i$ 种资产在第$ j$ 种场景下的期末价格为$ A_{i,j}$ ，其中$ 1\leq i\leq N, 1\leq j\leq M$ 。这里期末价格也可以直接理解为期末的回报。
此时任何一个资产组合都可以表示为一个数量矩阵$ w$ ，它在期末的价格为$ Aw$ 。
2、对冲
现在有一个新的资产，它的收益向量为$ b$ ，$ b$ 的每一项分别表示该资产期末时在各场景下的价格。现在想利用原来的 N 类资产精确对冲该新资产。对冲即指构建一个组合，使得这个组合和新资产在各个场景下的期末价格都是完全一样的。构建该对冲组合的行为也被称为复制$ b$ 。
显然，此即解方程
当且仅当$ b$ 与$ A$ 的各列线性相关时，$ b$ 可以由原来的资产完美对冲。
3、最优近似复制
当$ b$ 无法由$ A$ 的各列线性组合而成时，找不到$ b$ 的完美对冲。此时可以求近似对冲组合。对冲组合的误差，通常被称为复制误差（ replication error ），可以用$ \epsilon = Aw-b$ 表示。
一个常用的评价复制误差的标准为 sum of squared replication errors(SSREs)：即最小化$ \|\epsilon\|$ 。这可通过求一个二次优化来解决（可直接调用优化工具箱来解决）
4、套利
另设$ S$ 为 N 类资产的期初价格，它是一个$ 1\times N$ 的向量。资产组合$ w$ 的期初价格为$ S'w$ 。
如果一个资产组合$ w$ 满足期初价格不大于 0 ，期末价格在任何场景下都不小于 0 ，且期初价格和期末价格至少有一个不等于 0 ，则$ w$ 是一个套利组合，在期初买入，期末卖出，可空手套白狼（注意购买$ w$ 不需要本金）。
同样如果一个资产组合的期初价格要低于另一个的期初价格，但前一个组合在任何一个期末场景下的价格都要高于后一个，那么可以通过买入前一个组合，卖空后一个组合的方式构造出套利组合。
5、套利定理
所有符号接着上面的来。那么这$ N$ 类资产之间没有套利机会当且仅当存在$ \phi\in R^M, \phi>0$ ，使得 $ S=A'\phi$ 。
事实上，这里的$ \phi_j$ 可被理解为$ e_j$ 的价格，其中$ e_j$ 为一个资产，它在第 j 个场景上有单位收益，其余场景下收益为 0。
该定义的证明其实就是线性规划中的 DUAL THEOREM ，再经典不过了。事实上，这个定理虽然形式简单清晰，但在实际处理上并不太好弄，因为优化软件无法处理'>0'这种情况，事实上，我在用 Matlab 判断是否存在套利机会时还是使用套利的原始定义，即求解方程：
此处$ \phi$ 应该还有更多的含义，比如与概率有关？
6、无套利定价
如果$ b$ 可以被原有$ N$ 类资产精确对冲，比如$ b=Aw$ （此时$ b$ 被称为 redundant ），那么$ b$ 的价格$ S_b$ 完全确定：$ S_b=Sw$ 。下面只对$ b$ 是 non-redundant 的情况。
对任何一个资产$ b$ ，可以定义两类组合的集合，其中一类组合，它在任何一个场景下的期末价格都不高于$ b$ ，另一类在任何一个场景下的期末价格都不低于$ b$ 。那么根据上面套利的定义， b 的期初价格$ S_b$ 要高于所有第一类组合的价格，要低于所有第二类组合的价格。用数学式子可以描述为（使用于$ b$ 无法被精确对冲的情形）
根据上面的套利定理，还有另外一种方式获得定价，它被称为对偶形式：
当$ r(A)=M$ （此时市场被称为完备的，因为任何资产都可以用$ A$ 各列代表的 N 类资产复制和对冲），使用对偶形式要简单地多，此时价格也是唯一确定的。在其它情况，特别是$ r(A)\ll M$ 时，使用第一种方式要快一些。而且第一种定价方式可以很方便地得到当 b 的价格超出理论价格区间时，如何去寻找套利的机会。
Q. E. D.
