One-Period 模型和无套利定价

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[Mathematics-techniques-in-finance]

这本书的前两章是讲 one-period 无套利定价,主要用到的工具为线性代数(矩阵)。

1. One-Period 模型

在 one-period 模型不关心资产价格在期间的变动,而只关心资产在期末的价格。为了方便起见,假设在期末只有\( M\) 种可能的场景,此时一个资产的期末价格可以用一个长为\( M\) 的列向量表示。不妨设第\( i\) 种资产在第\( j\) 种场景下的期末价格为\( A_{i,j}\) ,其中\( 1\leq i\leq N, 1\leq j\leq M\) 。这里期末价格也可以直接理解为期末的回报。

此时任何一个资产组合都可以表示为一个数量矩阵\( w\) ,它在期末的价格为\( Aw\)

2. 对冲

现在有一个新的资产,它的收益向量为\( b\)\( b\) 的每一项分别表示该资产期末时在各场景下的价格。现在想利用原来的 N 类资产精确对冲该新资产。对冲即指构建一个组合,使得这个组合和新资产在各个场景下的期末价格都是完全一样的。构建该对冲组合的行为也被称为复制\( b\)

显然,此即解方程

$$Aw=b$$

当且仅当\( b\)\( A\) 的各列线性相关时,\( b\) 可以由原来的资产完美对冲。

3. 最优近似复制

\( b\) 无法由\( A\) 的各列线性组合而成时,找不到\( b\) 的完美对冲。此时可以求近似对冲组合。对冲组合的误差,通常被称为复制误差( replication error ),可以用\( \epsilon = Aw-b\) 表示。

一个常用的评价复制误差的标准为 sum of squared replication errors(SSREs):即最小化\( \|\epsilon\|\) 。这可通过求一个二次优化来解决(可直接调用优化工具箱来解决)

$$\min (Aw-b)' (Aw-b)$$

4. 套利

另设\( S\) 为 N 类资产的期初价格,它是一个\( 1\times N\) 的向量。资产组合\( w\) 的期初价格为\( S'w\)

如果一个资产组合\( w\) 满足期初价格不大于 0 ,期末价格在任何场景下都不小于 0 ,且期初价格和期末价格至少有一个不等于 0 ,则\( w\) 是一个套利组合,在期初买入,期末卖出,可空手套白狼(注意购买\( w\) 不需要本金)。

同样如果一个资产组合的期初价格要低于另一个的期初价格,但前一个组合在任何一个期末场景下的价格都要高于后一个,那么可以通过买入前一个组合,卖空后一个组合的方式构造出套利组合。

5. 套利定理

所有符号接着上面的来。那么这\( N\) 类资产之间没有套利机会当且仅当存在\( \phi\in R^M, \phi>0\) ,使得 \( S=A'\phi\)

事实上,这里的\( \phi_j\) 可被理解为\( e_j\) 的价格,其中\( e_j\) 为一个资产,它在第 j 个场景上有单位收益,其余场景下收益为 0。

该定义的证明其实就是线性规划中的 DUAL THEOREM ,再经典不过了。事实上,这个定理虽然形式简单清晰,但在实际处理上并不太好弄,因为优化软件无法处理'>0'这种情况,事实上,我在用 Matlab 判断是否存在套利机会时还是使用套利的原始定义,即求解方程:

$$\begin{array}{rcl}S'w &\leq& -u \\ Aw &\geq& v\\u+v&\geq&0 \\ u\geq 0,&& v\geq 0;\end{array}$$

此处\( \phi\) 应该还有更多的含义,比如与概率有关?

6. 无套利定价

如果\( b\) 可以被原有\( N\) 类资产精确对冲,比如\( b=Aw\) (此时\( b\) 被称为 redundant ),那么\( b\) 的价格\( S_b\) 完全确定:\( S_b=Sw\) 。下面只对\( b\) 是 non-redundant 的情况。

对任何一个资产\( b\) ,可以定义两类组合的集合,其中一类组合,它在任何一个场景下的期末价格都不高于\( b\) ,另一类在任何一个场景下的期末价格都不低于\( b\) 。那么根据上面套利的定义, b 的期初价格\( S_b\) 要高于所有第一类组合的价格,要低于所有第二类组合的价格。用数学式子可以描述为(使用于\( b\) 无法被精确对冲的情形)

$$S_b \in (max\{S'x: Ax\leq b\}, min\{S'x: Ax\geq b\})$$

根据上面的套利定理,还有另外一种方式获得定价,它被称为对偶形式:

$$S_b = \{\phi'b:\phi>0, A'\phi = S\}$$

\( r(A)=M\) (此时市场被称为完备的,因为任何资产都可以用\( A\) 各列代表的 N 类资产复制和对冲),使用对偶形式要简单地多,此时价格也是唯一确定的。在其它情况,特别是\( r(A)\ll M\) 时,使用第一种方式要快一些。而且第一种定价方式可以很方便地得到当 b 的价格超出理论价格区间时,如何去寻找套利的机会。

Q. E. D.

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