One-Period 模型和无套利定价

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[Mathematics-techniques-in-finance]

这本书的前两章是讲 one-period 无套利定价,主要用到的工具为线性代数(矩阵)。

1、One-Period 模型

在 one-period 模型不关心资产价格在期间的变动,而只关心资产在期末的价格。为了方便起见,假设在期末只有$ M$ 种可能的场景,此时一个资产的期末价格可以用一个长为$ M$ 的列向量表示。不妨设第$ i$ 种资产在第$ j$ 种场景下的期末价格为$ A_{i,j}$ ,其中$ 1\leq i\leq N, 1\leq j\leq M$ 。这里期末价格也可以直接理解为期末的回报。

此时任何一个资产组合都可以表示为一个数量矩阵$ w$ ,它在期末的价格为$ Aw$

2、对冲

现在有一个新的资产,它的收益向量为$ b$$ b$ 的每一项分别表示该资产期末时在各场景下的价格。现在想利用原来的 N 类资产精确对冲该新资产。对冲即指构建一个组合,使得这个组合和新资产在各个场景下的期末价格都是完全一样的。构建该对冲组合的行为也被称为复制$ b$

显然,此即解方程

$$Aw=b$$

当且仅当$ b$$ A$ 的各列线性相关时,$ b$ 可以由原来的资产完美对冲。

3、最优近似复制

$ b$ 无法由$ A$ 的各列线性组合而成时,找不到$ b$ 的完美对冲。此时可以求近似对冲组合。对冲组合的误差,通常被称为复制误差( replication error ),可以用$ \epsilon = Aw-b$ 表示。

一个常用的评价复制误差的标准为 sum of squared replication errors(SSREs):即最小化$ \|\epsilon\|$ 。这可通过求一个二次优化来解决(可直接调用优化工具箱来解决)

$$\min (Aw-b)' (Aw-b)$$

4、套利

另设$ S$ 为 N 类资产的期初价格,它是一个$ 1\times N$ 的向量。资产组合$ w$ 的期初价格为$ S'w$

如果一个资产组合$ w$ 满足期初价格不大于 0 ,期末价格在任何场景下都不小于 0 ,且期初价格和期末价格至少有一个不等于 0 ,则$ w$ 是一个套利组合,在期初买入,期末卖出,可空手套白狼(注意购买$ w$ 不需要本金)。

同样如果一个资产组合的期初价格要低于另一个的期初价格,但前一个组合在任何一个期末场景下的价格都要高于后一个,那么可以通过买入前一个组合,卖空后一个组合的方式构造出套利组合。

5、套利定理

所有符号接着上面的来。那么这$ N$ 类资产之间没有套利机会当且仅当存在$ \phi\in R^M, \phi>0$ ,使得 $ S=A'\phi$

事实上,这里的$ \phi_j$ 可被理解为$ e_j$ 的价格,其中$ e_j$ 为一个资产,它在第 j 个场景上有单位收益,其余场景下收益为 0。

该定义的证明其实就是线性规划中的 DUAL THEOREM ,再经典不过了。事实上,这个定理虽然形式简单清晰,但在实际处理上并不太好弄,因为优化软件无法处理'>0'这种情况,事实上,我在用 Matlab 判断是否存在套利机会时还是使用套利的原始定义,即求解方程:

$$\begin{array}{rcl}S'w &\leq& -u \\ Aw &\geq& v\\u+v&\geq&0 \\ u\geq 0,&& v\geq 0;\end{array}$$

此处$ \phi$ 应该还有更多的含义,比如与概率有关?

6、无套利定价

如果$ b$ 可以被原有$ N$ 类资产精确对冲,比如$ b=Aw$ (此时$ b$ 被称为 redundant ),那么$ b$ 的价格$ S_b$ 完全确定:$ S_b=Sw$ 。下面只对$ b$ 是 non-redundant 的情况。

对任何一个资产$ b$ ,可以定义两类组合的集合,其中一类组合,它在任何一个场景下的期末价格都不高于$ b$ ,另一类在任何一个场景下的期末价格都不低于$ b$ 。那么根据上面套利的定义, b 的期初价格$ S_b$ 要高于所有第一类组合的价格,要低于所有第二类组合的价格。用数学式子可以描述为(使用于$ b$ 无法被精确对冲的情形)

$$S_b \in (max\{S'x: Ax\leq b\}, min\{S'x: Ax\geq b\})$$

根据上面的套利定理,还有另外一种方式获得定价,它被称为对偶形式:

$$S_b = \{\phi'b:\phi>0, A'\phi = S\}$$

$ r(A)=M$ (此时市场被称为完备的,因为任何资产都可以用$ A$ 各列代表的 N 类资产复制和对冲),使用对偶形式要简单地多,此时价格也是唯一确定的。在其它情况,特别是$ r(A)\ll M$ 时,使用第一种方式要快一些。而且第一种定价方式可以很方便地得到当 b 的价格超出理论价格区间时,如何去寻找套利的机会。

Q. E. D.

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