违反直觉的概率游戏

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蚁迹寻踪及其他数学探索 》提到一个游戏:

游戏 \( \Gamma^2\) 是不断地取独立同分布随机变量 \( x_1,x_2,\cdots\) ,其中随机变量 \( x_i\) 来自于 1 到 n 上的某个分布,直到某个 \( x_i\) 成为第二大的数,即在 \( x_i\) 前面恰好有一项大于或等于 \( x_i\) 时序列终止。游戏者因此获得一笔价值为 \( x_i\) 的支付。

游戏 \( \Gamma^k\) 与上面一样,只是「第二大」被「第 k 大」所代替。

游戏 \( \Gamma_k\)\( \Gamma^k\) 相同,只是「第 k 大」被「第 k 小」所代替。

那么在 \( \Gamma^2\)\( \Gamma^3\)\( \Gamma_2\) 这些游戏中,哪个对游戏者最有利?如果你认为在「第二大」上打赌应该比在「第三大」或者「第二小」上打赌更有利些,那你就落入了圈套。

正确答案是:所有游戏全都一样。所有游戏的回报与序列中的原始分布一模一样。

我就不写为什么了,有兴趣的同学可以自己算算看。

Q. E. D.

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