二选一的成功概率可以高于一半

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系列:生活中的数学

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最佳约会策略 里,我们提到,如果有 100 个女孩可以顺序挑选,那么最好的方法是先看前 37 个,然后在剩下的女孩里选择当时最好的那个女孩,这样有接近 40%的概率挑选到最好的那个女孩。同时, 不可能有更好的策略

American Scientist 于 2009 年出版的一篇文章 How to gamble if you must—the mathematics of optimal stopping ,里面讨论了一个简单的情景,而且有一个非常违反直觉的答案。在这个简单场景里,你只有两个女孩可以挑选。当你见了第一个女孩后,你只有两种选择,选第一个女孩,或者放弃第一个女孩,这时候你只能选第二个女孩。你能有多大概率选中两个女孩中较好的那一个呢?

直觉上好像没有比总是挑第一个,总是挑第二个,或者随机挑更好的方法,这几个方法成功的概率都是二分之一。但如果好坏的标准可用用分数来体现(即使评分方法和评分范围等一切东西都未知),同时这两个女孩的排序是随机的,那么有一种方法,无论这两个女孩的分值是何种分布,你都有超过一半的概率选中较好的女孩。

方法很简单:生成一个随机数 \( x\) ,符合标准正态分布。将 \( x\) 与第一个女孩的分值 \( p\) 比较。如果 \( p\) 大于 \( x\) ,则选择第一个女孩,否则放弃第一个女孩,选择第二个女孩。

这时候,如果两个女孩之间的排序是随机的,那么无论女孩的分值是何种分布,都有超过一半的概率选中较好的那位女孩。

证明:

假设两个女孩的分值分别为 \( p\)\( q\) ,满足 \( p<q\)\( \text{N}\) 为正态分布的累计分布函数。那么第一个女孩较好时,成功选中第一位女孩的概率为 \( \text{P}(x<q) = \text{N}(q)\) ;如果第二位女孩较好时,成功选中第二位女孩的概率为 \( \text{P}(x>p)=1-\text{N}(p)\) 。所以你选中较好的女孩的平均概率为 \( (\text{N}(q)+1-\text{N}(p))/2\) ,由于 \( p<q\) ,所以 \( \text{N}(p)<\text{N}(q)\) ,所以平均概率大于 \( \frac12\)

有趣的是,这种方法可以保证成功的概率高于 1/2 ,但无法保证高于任何一个大于 1/2 的数。

Q. E. D.

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