二选一的成功概率可以高于一半

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系列:生活中的数学

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最佳约会策略里,我们提到,如果有 100 个女孩可以顺序挑选,那么最好的方法是先看前 37 个,然后在剩下的女孩里选择当时最好的那个女孩,这样有接近 40%的概率挑选到最好的那个女孩。同时,不可能有更好的策略

American Scientist 于 2009 年出版的一篇文章How to gamble if you must—the mathematics of optimal stopping,里面讨论了一个简单的情景,而且有一个非常违反直觉的答案。在这个简单场景里,你只有两个女孩可以挑选。当你见了第一个女孩后,你只有两种选择,选第一个女孩,或者放弃第一个女孩,这时候你只能选第二个女孩。你能有多大概率选中两个女孩中较好的那一个呢?

直觉上好像没有比总是挑第一个,总是挑第二个,或者随机挑更好的方法,这几个方法成功的概率都是二分之一。但如果好坏的标准可用用分数来体现(即使评分方法和评分范围等一切东西都未知),同时这两个女孩的排序是随机的,那么有一种方法,无论这两个女孩的分值是何种分布,你都有超过一半的概率选中较好的女孩。

方法很简单:生成一个随机数$ x$ ,符合标准正态分布。将$ x$ 与第一个女孩的分值$ p$ 比较。如果$ p$ 大于$ x$ ,则选择第一个女孩,否则放弃第一个女孩,选择第二个女孩。

这时候,如果两个女孩之间的排序是随机的,那么无论女孩的分值是何种分布,都有超过一半的概率选中较好的那位女孩。

证明:

假设两个女孩的分值分别为$ p$$ q$ ,满足$ p<q$$ \text{N}$ 为正态分布的累计分布函数。那么第一个女孩较好时,成功选中第一位女孩的概率为$ \text{P}(x<q) = \text{N}(q)$ ;如果第二位女孩较好时,成功选中第二位女孩的概率为$ \text{P}(x>p)=1-\text{N}(p)$ 。所以你选中较好的女孩的平均概率为 $ (\text{N}(q)+1-\text{N}(p))/2$ ,由于$ p<q$ ,所以$ \text{N}(p)<\text{N}(q)$ ,所以平均概率大于$ \frac12$

有趣的是,这种方法可以保证成功的概率高于 1/2 ,但无法保证高于任何一个大于 1/2 的数。

Q. E. D.

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网络的力量太大,这两次把问题放到网上不到半天,这些问题不但被解答,而且连出处都被翻出来了。这让我自己少了很多思考的乐趣。以后不能把问题太快放到网上。
元旦前,总理公布了三大优惠个税政策,普通工薪阶级优惠最大的就是年终奖税收优惠再延两年。对于高收入者,优惠最大可达 10.3 万元。
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这个问题有许多不同形式的阐述方式和变种,应用范围也很广。下面应该是比较吸引人和简单的那种,来自姚期智教授的理论计算机( I )的授课内容——我是其助教之一。
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写篇三门问题的终结版。欢迎补充材料。
本文将证明:最佳约会策略里提到策略,忽略前 37%的对象,然后在剩下的对象里挑第一个比前 37%都好的对象,这个策略是最优的。更准确地,我们将证明:任何约会策略的成功概率都不可能超过$ \frac{u}{n}\sum_{i=u}^{n-1}\frac1i$ ,其中$ u$ 为满足$ \sum_{i=u}^{n-1}\frac1i\geq 1$ 的最大值。这个$ u$ 大约为 37%,最后成功的概率大约为 40%。
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最近看到一个有趣的问题:
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蚁迹寻踪及其他数学探索》提到一个游戏:
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首先申明一下,赌博是不对的,下面的讨论也更多是理论性的。
在 slashdot 上看到一篇科技新闻,两个数学家(其中一个来自于 MIT )和一个计算机学家,在 arXiv 上发表了一篇论文《HOW TO GAMBLE IF YOU』RE IN A HURRY》(PDF 版链接),是最近几天很热门的一条新闻。
以前提到过,理论计算机这门课会邀请一些正在这边访问的教授来讲课,由于是本科生,所以这些教授一般都是讲些有趣的东西,比如之前的overhang 堆积木 - 能伸出桌面多远?。今天这次课,来自 Aarhus 的Peter Bro Miltersen讲了一个很有趣的游戏问题。
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68–95–99.7 原则:
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数学 » 概率, 测试
所有大学生都应该学的两门课程,一是经济学,二是概率论,这两门课分表代表着一种生活中的思维方式。来测试一下你的概率论学得怎么样吧。题目作者: wzz12346@newsmth, 原发 Mathematics@newsmth。解答亦来自 wangzz。题目顺序和答案经过调整。
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此篇为学习笔记。
数学 » 赌博
何时适合而止中,我们提到一个有趣的硬币问题,抛一个硬币,选择合适的时点,使得正面数与总次数的比值最大。这个问题目前还没有被完全解决,之前我们也只是用模拟法逼近了一下结果