三门问题及相关

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系列:数学之美

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写篇三门问题的终结版。欢迎补充材料。

1. 三门问题的最初表述形式

三门问题,亦称为蒙特霍问题(英文: Monty Hall problem ),最初的表述形式:

参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?

2. 三门问题的最终答案

很老的问题了,不过在任何时候都能引起激烈的争论,更神奇的是无论直觉派,概率派等都认为自己的答案有道理。维特根斯坦认为世界上多数问题归根结底都是语言问题。三门问题的争论其实也是语义上的。正确答案应该是

  1. 如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了,那么参赛者应该换另一扇门,这可以将他胜利的概率从 1/3 升到 2/3。
  2. 如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门,但事实发现里面 恰好 是山羊。这时候参赛者没有换门的必要,胜利概率总是 1/2。

3. 三门问题的数学证明

简单的证明(如果对概率论一点都不了解得话可以直接枚举进行计数):

我们需要计算 P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门)。以下说明在第一种情况这个概率为 1/3 ;在第一种情况下这个概率为 1/2。如果参赛者没有选中汽车门,另一扇门必定是汽车门,所以换门后包含汽车的概率分别为 2/3 和 1/2。

P(参赛者选中了汽车门|主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车,主持人打开了一个山羊门)/P(主持人打开了一个山羊门) = P(参赛者选中了汽车门)P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)/P(主持人打开了一个山羊门)             .................(*)

而 P(参赛者选中了汽车门) = 1/3。在参赛者选中了汽车门时,主持人打开的必定是山羊门,所以 P(主持人打开了一个山羊门|参赛者选中了汽车门)=1。

问题的关键是 P(主持人打开了一个山羊门)。在第一种情况下,主持人每次都有意的打开了山羊们,所以此时 P(主持人打开了一个山羊门)=1 ;在第二种情况下,主持人随机选择了一个门,虽然他是在参赛者选择的门之外选择的,但不难知道这个概率为 P(主持人打开了一个山羊门)=2/3。

将上面数据代入(*)即得出结论。

4. 三门问题的官方表述

上面答案中的假设条件并没有在问题中明确指出,从而导致这个问题的巨大争议。所以最后的问题「官方」表述将问题严格确定下来(来源: 三门问题 @wikipedia ):

  • 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
  • 主持人知道每扇门后面有什么。
  • 主持人必须开启剩下的其中一扇门,并且必须提供换门的机会。
  • 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
    • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门。
    • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
  • 参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道门。

这时候问题被限制在答案的第一种情况,这时候参赛者总是应该选择换一个门。

5. 三门问题的变种

要正确理解三门问题,可以再看两个三门问题的翻版:

5.1. 女孩的概率

1. 你结交一位新朋友,问她是否有孩子。她说有,有两个。你问,有女孩吗?她说有。那么,两个都是女孩的概率是多少?

答:三分之一。

因为生两个孩子的可能性有四种等可能: BB、GG、BG、GB (即男男、女女、男女、女男)。 因为我们已知至少有一个女儿,所以 BB 是不可能的。因此 GG 是可能出现的三个等可能的结果之一,所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

这对应了三门问题的第一种情况。

2. 你结交一位新朋友,问她是否有孩子。她说有,有两个。你问,有女孩吗?她说有。第二天,你看见她带了一个小女孩。你问她,这是你女儿吗?她说,是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少?

答:二分之一。

这似乎非常奇怪,因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多,但概率却不同。但是这里的问题其实是,那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少?这个概率和生女孩的概率相同,二分之一。

这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题,必须假定这位母亲 不是特定 带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是 碰巧 发现了它是位小女孩。

你得到的答案依赖于所讲的故事;它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。

5.2. 三囚犯问题

亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里,只有监狱看守知道谁会被判死刑,另外两位将会获释。有 1 / 3 的概率会被处死刑的亚当,给他母亲写了一封信,想要获释的比尔或查尔斯帮忙代寄。当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时,这位富有同情心的看守很为难。他认为如果他把将要获释的人的名字告诉亚当,那么亚当就会有 1 / 2 的概率被判死刑,因为剩下的人和亚当这两人中一定有一个人被处死。如果他隐瞒这信息,亚当被处死的概率是 1 / 3。既然亚当知道其他两人中必有一人会获释,那么亚当自己被处死的概率怎么可能会因为看守告诉他其他两人中被获释者的姓名后而改变呢?  

正确的答案是:看守不用当心,因为即使把获释人的姓名告诉亚当,亚当被处死的概率仍然是 1 / 3 ,没有改变。但是,剩下的那位没被点名的人就有 2 / 3 的概率被处死(被处死的可能性升高了)。

这位看守显然很有趣。对他来说,这三个人死不死的概率是不变的: 1、0、0。有一个必死,两个必活。

我们旁观者认为亚当会死的概率是 1/3,那是因为监狱里有 3 个人,会死 1 个。现在看守说出一个名字后,我们旁观的人知道是 2 个里面死 1 个,亚当在内,则亚当会死的概率上升到 1/2。凭什么说在旁观者看来,亚当会死的概率不上升?

以上两问题均出自《随机性》,美国 Bennett D.J.著,吉林人民出版社, 2001 年。

Q. E. D.

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前两天贴出了一个 硬币游戏 ,希望寻找一种胜利策略。这是一个非常有意思的题目,没事做的时候可以用来锻炼思考能力。我迫不及待的想在这里公布解答,因为我已经把它解决掉了。如果有人还想继续享受思考的乐趣,请飘至 原问题
利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明, Matrix67 就给出了一个这样的例子 ,这也让我想起以前看见的另外一个例子,分享如下:
毫无疑问,所有的点火仪式中巴塞罗那的点火仪式最令人难忘。与其说是它的创意,还不如说他的刺激,征服了我们。从 70 米的远处射火箭把圣火射入火盆,想起来就觉得刺激啊:要是没射中会怎样呢?
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\( n\) 枚硬币排成一排,两人轮流取,每人每次可取其中一枚或者 相邻的 两枚。