在群里有人讨论了一个问题：一个序列$A_k$，其中$A_1=1$，后面的每个$A_n$是前面的$A_k$和$A_k+k$里未出现的最小的正整数。问$A_k$的通项公式。
简单地枚举序列为 1、3、4、6、8、9、11、12、14、16、17、19 等等。然后有人贴出了它的通项公式：
我觉得非常之奇妙。尝试去证明了一下，发现的确如此（这是一个非常好的数学题目，作为思维体操，值得去尝试和思考），这个序列满足每个$A_n$是前面的$A_k$和$A_k+k$里未出现的最小的正整数，我们称之为原命题。
为了方便，定义四个符号简写：
注意，这里面有一个非常重要的关系，这也是该证明的核心，即：
然后定义四个整数序列：
然后我们将证明这里的$A_n$满足每个$A_n$是前面的$A_k$和$A_k+k$（即$B_k$）里未出现的最小的正整数。由于$A_k$和$B_k$是严格递增的，这等价于证明对任何$m$，要么存在$i$使得$A_i=m$，要么存在$j$使得$B_j=m$（我们称此命题为命题 1 ）。
我们将直接使用构造法证明：
- 对于任意$m$，存在$i$使得$A_i=m$，当且仅当$C_{m+1}>C_m$。记为命题 2。
- 对于任意$m$，存在$j$使得$B_j=m$，当且仅当$D_{m+1}>D_m$。记为命题 3。
先证明命题 2。对任意$m$，存在$i$使得$A_i=m$，这等价于存在$i$使得$m<ai<m+1$，这等价于存在$i$使得$mc<i<(m+1)c$。注意$C_m$的定义，这事实上就等价于$C_m < C_{m+1}$（$i$取值为$C_{m+1}$）。
命题 3 类似可证。此时要证明命题 1 ，我们只需要证明下面的命题 4 ：对于任意$m$，$C_{m+1}>C_m$和$D_{m+1}>D_m$有且仅有一个成立。
由于：
因此
由于$C_m$ 和$D_m$都是递增整数序列，因此很容易得知命题 4 ：$C_{m+1}>C_m$和$D_{m+1}>D_m$有且仅有一个成立。从而证明原命题。
证明到这里结束了。但看上去很不可思议。这个序列是不是有更深层次的缘由或者自然数的结构呢？如果事先不知道这个通项公式，如何计算或者猜到它呢？比如，对于任何$x$和$y$，一个序列$A_k$，其中$A_1=1$，后面的每个$A_n$是前面的$A_k$和$A_k+xk+y$里未出现的最小的正整数。$A_k$的通项公式还有这么优美的形式吗？
如果$y=0$，上面还是选择合适的$a$，使得：
即解方程得到合适的$a$即可：
最开始的问题即$x=1$的情形，带入上面方程，求解即得 $ a = \frac{\sqrt{5}+1}2$。
Q. E. D.
