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最近人人网上流行一个神奇的椭圆，有不少同学给了不同的扩展。我把看到的在这里总结一下。
这个「神奇的椭圆」最早应该是来自 Cornell 大学的一篇论文FROM RANDOM POLYGON TO ELLIPSE: AN EIGENANALYSIS。这篇论文证明了，平面上任何一个多边形（可自交），不断取各边的中点重新连线，同时按比例放大，往复操作最终会趋近于一个椭圆。以下是一个例子的动态图：
证明方法并不难，只用到一些线性代数的知识。如果不喜欢看英文，人人网的谢雨辰写了一篇减缩版的中文版证明。
线性代数的方法并未揭露出这个问题的本质。令人拍案叫绝的是，人人网的王赟从信号处理的角度，用傅立叶分析给该问题以新的解释，结论更直观（但需要事先了解所使用的数学方法）。而且，这种方法可以解决类似的问题，比如如果不是取中点而是用别的迭代方式会怎么样：
- 如果每次迭代是把每个顶点关于下一个顶点取镜像得到新的顶点，偶数各点时最终结果退化到两个点，奇数个点时最后收敛到一个刺猬。
- 如果每次迭代，是把相邻两个顶点的中点关于下一个顶点取镜像得到新顶点：当顶点个数为 7 的倍数而又不太多（如 14,21,28 ）时，图形会收敛成一颗七角星。
甚至我们可以反过来设计什么样的迭代方式，能收敛到我们所想要的样子（比如五角星）。
上面线性代数和信号处理的思路都可以直接应用到三维的情况。在三维空间中，不断取重点最后也会收敛到一个椭圆。
事情到这里还没完。人人网的张文琦在三维的情况上继续扩展。这时候考虑的是一个二维网格（首尾相连，最简单的例子是一个环面上均匀分布的经纬线行程的网格），每次迭代都是取每个方格的中心点形成一个新的二维网格。用数学公式表示：有$ n\times m$ 个顶点$ p_{i,j}$ ，$ 0\leq i < n$ ，$ 0\leq j < m$ 。$ n\times m$ 个面片$ T_{ij}$ 由$ p_{ij}, p_{i+1,j}, p_{i, j+1}, p_{i+1, j+1}$ 组成，其中$ p_{n, j} = p_{0,j}, p_{i,m}=p_{i,0}$ 。每一次的迭代都是取各个面片四个顶点的中心点形成新的网格，即
张文琦通过模拟发现，这种方法最后得到的是一个斜的椭圆形轮胎面。下面是一个例子的动态图：
这个具体是何原因还有待进一步探索。我觉得这个用上面信号处理的思路是可以做的，这个问题本质上还是点的变换（跟面其实没多大关系）。
2013-10-14 6:57PM 补充：
人人网的王赟已经用跟前面一样的滤波的方法，解决了上面问题。从滤波的角度看，最后留下来的是两个波的叠加，每个波都是一个椭圆。这样形成的曲面并不是张文琪所说的椭圆形轮胎面，而是一个 elliptic translational celestial。它是指一个椭圆沿着另外一个椭圆平行移动形成的曲面（一般说的环面则是一个圆绕着沿着另一个圆旋转移动形成的曲面，注意这里面的区别）。最后的结果长下面这个样子：
王赟的文章里有详细的分析，还提供了 Matlab 代码画图。有兴趣的可以移步观赏。
Q. E. D.
