飞机加油问题

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系列：数学之美

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珍爱生命，远离政治。今天我们讨论一个数学问题。

这个问题的一个基本版本是说，有 N 架完全相同的飞机停留在一个机场，每一架最多装的油可以支持飞机飞行 1 个单位距离，飞机能够瞬时转弯，同时可以瞬时在空中互相加油。问如果要求所有起飞的飞机都安全返回机场的话，最多可以把一架飞机送出去多远距离。

解答来自胖头王：

今天吃饭跟同学聊起来之前参加数模竞赛作的一个题目，后来闲得无聊发现竟然有很多地方讨论这个问题，所以把当初的数模论文发上来。

我们给出了这个问题的渐进结果，即当$ n\rightarrow\infty$ 的时候，距离等于$ \Theta(\frac12\log n)$ 。注意因为有 1/2 系数，这里$ \Theta$ 的含义是说上下界最多差的是一个高阶的加法项（其实这里写的不是很严格，具体的需要看论文中的定理描述）。

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Q. E. D.

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在这个游戏的开头，我们设想自己要参加一个电视游戏大奖赛。规则呢，是这样。我们有 n 个人，作为一个小组来参加游戏。游戏中，主持人会给我们每人头上戴一顶帽子。帽子有黑白两种颜色，可以认为它们在我们各自头上的分布是临时随机决定的。小组中的每一个人，可以看到其他人的帽子颜色，但不知道自己的帽子颜色。每个游戏成员都被要求回答自己帽子的颜色。我们各人面前有三个按钮，可以选择「黑色」「白色」或「弃权」(也就是 pass ，不作猜测的意思)。小组成员彼此之间没有任何信息交流，他们必须各自独立地作出自己的选择，并且谁也不知道其他人的选择。如果小组成员全部选择了 pass ，也就是每个人都弃权，则他们输了；如果有小组成员作出了明确的猜测，但某个人猜错了，则结果也是输。只有当小组中有人做出猜测，并且每个做出猜测的人都猜对了，他们才能获胜，一起获得最后的大奖。
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