利用线性代数可以给某些问题很精妙的证明，Matrix67 就给出了一个这样的例子，这也让我想起以前看见的另外一个例子，分享如下：
是否存在不全相等的\(2n+1\)个数\(x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1}\)，使得任意删除一个数，剩下\(2n\)个数可以均分为 2 组，每组\(n\)个数的和都相等。
如果限定\(x_i\)是整数，这就是一个简单的高中（初中？）数学竞赛中的数论题，
由于\(2n+1\)个数，任意去掉一个数剩下的数的和都是偶数，这意味着所有\(2n+1\)个数的奇偶性相同。如果它们都是偶数，那么将它们都除以 2 ，如果都是奇数，将它们减一再除 2。这样操作之后得到的数仍然满足上面的条件，这样经过若干步之后所有数都相等（等于 0 或者-1 ），这意味着原来的原来的\(2n+1\)个数必然全部相等。
很可惜，如果不要求\(x_i\)是整数，上面的证明就失效了。但利用线性代数里的一些简单事实，我们很快就能得出同样的结论，这样的\(x_i\)必然全部相等
记\(x\)为列向量\((x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1})\)，假设去掉\(x_i\)之后，剩下来的数可以分为和相等的两等分子集，那么存在行向量\(a_i\)使得\(a_ix=0\)，其中\(a_i\)的第\(i\)个位置为 0 ，其余\(2n\)个元素恰好有\(n\)个 1 和-1。
令矩阵\(A=[a_i]\)，其中\(a_i\)是\(A\)的第\(i\)行。那么\(Ax=0\)，我们证明\(x\)的所有元素都必然相等。
令\(J\)为同样大小的全 1 矩阵，那么\(A+J\)除了对角线上都是 1 之外，其余位置都是偶数，这样矩阵行列式\(det(A+J)\)的表达式中有一个唯一的奇数，这意味着\(det(A+J)\neq 0\)，从而\(rank(A+J)=n\)，所以\(rank(A)\geq rank(A+J)-rank(J)=n-1\)。
故\(Ax=0\)至多一个非零解，可验证\(x=(1,1,\cdots,1)\)就是它的唯一解。
Q. E. D.
