原题：https://research.ibm.com/haifa/ponderthis/challenges/April2023.html：
一个正方形棋盘，每个格子里都有一个灯泡，有些亮着有些没亮。我们每次可以选择其中一个熄灭的灯泡，点亮它的同时，翻转同行和同列的其它所有灯泡（亮着的关闭，熄灭的打开）。
问从任意给定的状态，求操作，使得最后将所有的灯泡打开。
解答：
如果操作不要求选定熄灭的灯泡，问题就相当简单了。
假设灯泡状态是$w_{i, j}$， 0 表示打开， 1 表示熄灭（注意和题目给的表示方法相反）。我们假设对$(i, j)$的灯泡做的操作为$s_{i, }$，也是 0 ， 1 变量（显然此时操作顺序没有关系，而且对于同一个灯泡操作多次无意义）。那么我们有方程：
这里的加法是基于 0 ， 1 的异或。当棋盘边长为偶数时，我们可以直接猜出其表达式解：
此时，对偶数大小的棋盘，我们直接解决了问题。
另一个问题：奇数大小的棋盘怎么弄？答案是，奇数的时候，我们不一定能打开所有的灯。我们记：
那么上面的方程（ \ref{eq}）可以写作：
对上面式子（ \ref{eq1}）的$j$求和，可得：
同理对$i$求和，可得：
这意味着原来状态每一行每一列，其状态之和（在 1,0 的 mod 2 加法下）相等。直观地说，要么每一行每一列熄灭的灯都是偶数个，要么每一行每一列熄灭的灯都是奇数个。
直接从单次操作上也可以看出，每次操作都改变了每一行每一列熄灭灯个数的奇偶性。但最终状态每一行每一列都是偶数。所以最初状态的奇偶性也必定相同。
这个条件也是充分的。因为我们先不管第一行第一列，对剩下的$(n-1)\times(n-1)$棋盘做操作，可以将这些灯全部打开。这时候第一行和第一列的灯要么全是打开的（已经 OK ），要么全是熄灭的，此时对第一行第一个灯做一次操作即可。
不过这种解也不是唯一的。上面的操作选择任何一行一列作为例外，都能得到一组解。
更多：
但如果操作要求每次选定熄灭的灯泡，这时候问题就复杂了。显然，上述的$s_{i, j}$仍可能是一个可行的解，我们需要谨慎地安排先后顺序，使得每次选择系列的灯泡。直接暴力搜索的代码附在后面。
可能存在某种特殊的状态，使得需要某个灯泡操作两次或多次，这就不在上面的搜索路径。问题就变得复杂很多。
Q. E. D.
