概率论感觉测试

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所有大学生都应该学的两门课程,一是经济学,二是概率论,这两门课分表代表着一种生活中的思维方式。来测试一下你的概率论学得怎么样吧。题目作者 : wzz12346@newsmth, 原发 Mathematics@newsmth。解答亦来自 wangzz。题目顺序和答案经过调整。

如果有题不会的话,就用你的直觉吧,看看最后你的直觉与真实的概率相差有多大。

解答颜色为白色,在每个题目下面,选中即可显示。

  1. 在打桥牌的时候,如果你和对家共持有某门花色的 9 张牌,则剩余的 4 张牌怎样分布的概率最大
          A.  2-2
          B.  3-1
          C.  4-0
    B. 可以简单计算得到这个结果。3-1 的概率应该是 50%。2-2 的概率是 37.5%。4-0 的概率是 12.5%。
     
  2. 如果有 3 个门,有一个背后有大奖。你选中一个,主持人知道哪个门后面有奖,并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会,你应该
          A.  换
          B.  不换
          C.  换不换都一样
    A ,三门问题,详细情况见 三门问题及相关

  3. 100 个球随机的放在 100 个箱子里,最后空箱子的数量大约是
         A.  0-10
         B.  10-20
         C.  20-30
         D.  30-40
    D. 这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球, c*n 个球放到 n 个箱子里,最后空箱子的个数约为 \( n(1-1/n)^{cn}=ne^{-c}\) ,现在的情况是箱子数和球数一样多,那么就约为 \( 100e^{-1}\) .
     
  4. 打 10000 副拱猪,总共持有 9500-10500 个 A 的概率大约在
          A.  80%-90%
          B.  90%-95%
          C.  95%-99%
          D.  99% 以上
    D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算,只是要考察大家的一个感觉,实际上这个概率大于 0.99...9 ,一共有 9 个 9。不过有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。

  5. 台湾大选,假定马英九最终得到 600000 票,谢长廷得到 400000 票,如果一张一张的唱票,则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为
          A.  0.1
          B.  0.2
          C.  0.3
          D.  0.4
  6. 有以下几个国家,每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人的比例最大
          A.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止
          B.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止
          C.  每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止
          D.  以上几个国家最后男女比例基本一样
    D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是 1:1。事实上,我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明,那就是如果我们在网上下棋,可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止,显然不管怎样,因为你的实力是恒定的,你永远都是你本来应有的胜率。
     
  7. 给一个 1 到 100 的排列,与原来位置相同的数字的个数的期望大约是 (如 1 到 5 的排列 51324 与原来位置只有 3 是相同的)
          A.  1
          B.  5
          C.  10
    A. 在第 1 个位置,这个排列的第 1 个数字为 1 的概率为 1/100 ,而期望是可加的,所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是 1。也就是说不管是多少的数字,平均恰好有一个数与顺序是相同的。
     
  8. 美国的 25 分硬币共有 50 种,上面有 50 个州的图案,如果我们每次得到的硬币是随机的,则期望大约收集多少可以收集全
          A.  200
          B.  300
          C.  400
          D.  500
    A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐 n 种硬币,需要大约 \( \sum_{i=1}^n\frac{n}{i}=n\log n\) 个。
     
  9. 假设有 1000 次 100m 短跑大赛,每次比赛的冠军成绩都在 9.7-10 之间均匀分布,问期望有多少次比赛打破了之前的纪录
          A.  7
          B.  10
          C.  15
          D.  32
    A. 假设均匀分布 , 则最后 n 次比赛之后这 n 个成绩形成一个排列。第 k 次创纪录的概率是这个排列中第 k 个在前 k-1 个之前的概率,也即 1/k ,所以 n 次比赛大约有 \( 1+1/2+1/3+...1/n=\log n\) 次破纪录。
     
  10. 扔 10000 次硬币,其中最长一次连着正面的次数大约会是多少
          A.  100
          B.  13
          C.  9
          D.  4
    B. 这也是一个特殊的概率问题,叫做 Head Runs。答案应该是 \( log_2^n\) 。大约为 13。或者大于 13 是显然的,但不太可能有 100。所以必定是选 B。
     
  11. 以下那件事情发生的期望时间最短
          A.  在第 0 秒,一个物体从原点出发,每一秒以概率 1/2 向左走, 1/2 向右走,第一次回到原点的时间
          B.  一只猴子,每秒种随便按键盘上的一个键,第一次打出 "Beijing Welcomes You" 的时间
          C.  在第 0 秒,一个物体从原点出发,每一秒以概率 1/2 向左走, 1/2 向右走,第一次到达 1 的时间
    B. A 和 C 两个事件发生的时间的期望都是 +inf. 只有 B 是有限的。A 和 C 说明了等概率的赌博不可能赢钱(如果 C 是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了)。而 B 说明的是另外一条概率上的定理 ,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later", 也就是说从任何时刻开始,总有一个固定的概率发生的事情 ( 比如一个猴子打出 beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20 左右 ),不过这个概率是多少,这件事情早晚能发生。
         
  12. 如果一个物体在 3 维随机游动,也即每一刻他可以向左,右,上,下,前,后等概率的走,长久来看,则会发生什么情况
          A.  此物体无穷多次回到原点
          B.  此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上,但不会无穷多次回到原点
          C.  此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上
    B. 1 维和 2 维的随机游动是常返的,也就是说会无穷多次回到起点(但回来的平均时间期望是无穷的),而 3 维以上的随机游动是非常返的。因此对于 2 维德某改革坐标,此物体会无穷多次经过,但是不会无穷多次经过原点。对一个完全没有方向感的人,在平面上不会迷路,但在宇宙中是会迷路的。
      
  13. 一支股票,初始价为 1 ,每天的价值变化率独立同分布,且期望为 0 ,不恒为 0。则
          A.  股票在任何时刻期望价值为 1
          B.  股票以概率 1 变成 0
          C.  A 和 B 都对
          D.  A 和 B 都不对
    C. 也就是说对于很多投机的东西,平均值总是不变的,但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理,比如说你的股票第一天涨 10%。第二天跌 10% 或是第一天跌 10%,第二天涨 10%,最后的结果都是跌了 1%。所以要保持增长所需要的是远大于 0 的平均变化率,这个才是一般人难以做到的。
     
  14. 如果一个群体里,每个个体以 0.2 的概率没有后代, 0.6 的概率有 1 个后代, 0.2 的概率有两个后代,则
          A.  这个群体最后会灭绝
          B.  这个群体最后将稳定在一个分布,即种群大小在一定范围内震荡
          C.  这个群体最后将爆炸,人口将到无穷
          D.  不一定会发生什么
    A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难,但是这个实际上和上次的一道题是一样的。注意到每一代的期望总是 1。因此根据上次的答案,这个群体最后会灭绝。对于这种模型,当每一代的期望小于等于 1 时,最后的结果都是会灭绝。对于期望大于 1 的情况,我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。
     
  15. 当我们考虑一种可能重复发生的事件时,哪种方式更科学
    A.  按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点,考虑从其本身出发之后的性质
          B.  按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点,考虑从其本身出发之后的性质
          C.  以上都可以
          D.  以上都不可以
    A. 这个问题深一些的背景在于 Kolmogorov 向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用,但是并不知道原因。事实上,向后微分方程是基于 A 的方法对事件进行分解得到的,而向前微分方程是基于 B 的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁,以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以 A 更科学。
         
  16. 实验室测试灯泡的寿命,在灯泡不断的换新灯泡。灯泡寿命约为 1 小时。考察 10000 小时时亮着的那个灯泡
          A.  那个灯泡的寿命期望也约为 1 小时
          B.  那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的 2 倍
          C.  那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的 1/2
          D.  以上说法都不对

    B. 这个题可能是稍难的。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上,当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点,那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说,如果灯泡有两种,一种只能坚持 1 小时,一种能坚持 100 小时,那我们在后面观测到的 99% 都可能是 100 小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的,在这个情况下,答案是 2 倍。对于一般的分布,甚至有可能平均寿命有限,而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现,即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

Q. E. D.

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