从首个 IMO 季军谈起 - 付云皓

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作者: 付云皓。发表于 2016 年 7 月份。作为两届 IMO 满分金牌,后来一直参与中国顶级奥数圈的教练、阅卷者和出题者工作,作者其对奥数的认识非常深刻。每个想学奥数或者对奥数有疑问的人都应该看一看。

原文刊于人人网,但现在需要账户登陆才能看。外网有很多转载,但内容大多都不全(一般都只到 part13 )。下面是完整版,分为 17 个章节和两个番外篇。


刚刚过去的 IMO ,中国史无前例地获得了第三名,也是自 1997 年来近 20 年首次跌出前二。感谢微信等社交软件,相信现在这个新闻已经以火箭的速度传播了。

作为一个与数学竞赛及 IMO 打了多年交道的人,我一直有写点什么东西的冲动,但一直由于懒癌拖拖拖。上此时此事,我觉得不能再拖了,写一点感受吧。

首先插个链接: ,这是 IMO 官方网站,上面记录了历届 IMO 的数据,只要你会点英语都能看下来。以下所有有关 IMO 的官方数据均出自此处,如有数据错误,请指出。

1. 曾经的霸主

中国的奥数强不强?是不是梦之队?

五年前你问我,我会很干脆地回答就是梦之队,但现在你问我,我会说,强,但不是梦之队。

圈内普遍认为,中国在 IMO 上大放异彩大约就是 2000-2010 这十年(实际是十一年)。20 世纪 90 年代吧,虽然也是强队,但有一次并列第一,两次第二,一次第六,还有一次未参赛(当然,未参赛不能怪中国队,细节涉及黑历史,略),银牌铜牌还是不少的。

在官网上看 2000-2010 中国的数据, 11 次参赛 66 人次, 61 金 5 银, 9 次第一 2 次第二,绝对亮瞎眼。61 金 5 银什么概念?就是说如果你不是中国队里最弱的两个之一,那么你肯定是金牌,即便是最弱的两个之一,也有大约四分之三的概率拿金牌。

But 你以为这就是全部了?大错特错。

2004 年,某队承认自己前一年「played something unfair」(明白人都懂不再解释)。

2007 年,中国在集训队淘汰了两个大 BOSS ,加之当年题目奇葩(可以搜那年的数据,真心坑),以及主办方越南的双标(甚至对中国队采取了笔误扣分),中国落后俄罗斯 3 分屈居亚军。

把这些数据修正一下,再看看中国队在 2000-2010 的数据,用神队形容也不为过。

不仅如此,官方公布的中国队 9 次第一中,除 2000 年赢第二名 3 分,还有 3 年赢 8-9 分之外,其余 5 年均赢接近 20 分或 20 分以上,最夸张的 2006 年竟然赢第二名 40 分!也就是说除了柳大师之外随便找一个人交白卷,中国还是第一!

这不是虐杀十条街么…………

那么下面一个问题, 2000-2010 的中国队到底领先其他队伍多少距离?

一个数据不说明问题,一组数据光看也不说明问题,分析完再说。

每一年情况不同,各队选人就不一样,题也不一样,临场发挥还是不一样,尤其在这种各比各的最后汇总成绩的比赛中,随机性真的很高。但是看看中国队的数据就能发现中国称霸的秘诀:强,而且稳定。

由于各年题目难度不同,我们以金牌分数线*6 来作为标准分数,看看每个国家和标准分数的差距(考虑到 2007 年这种神年份的难度被金牌分数线误判,个人将 2007 年的金牌线修正到 26 分参与计算)。平均实力最强的中、俄、美相关数据如下:

  • 中国队每年总分均超出标准分至少 25 分,超出部分的平均值约为 34 ,标准差大约为 7。
  • 俄罗斯除 2003 年外均超出标准分,超出部分平均值为 14 ,标准差大约为 12。
  • 美国在标准分上下波动,超出部分平均值为 3.5 ,标准差大约为 10。

如此可以看出,中国队超出的成绩平均值不但远高于俄罗斯和美国,标准差也小。以正态分布模型来计算,中国输给俄罗斯的概率也就是百分之六、七,输给美国的概率不超过百分之三,至于其它国家?那都是小概率事件。

中国队为何如此所向披靡?且听下回分解。

2. 取胜的关键

中国队有如此稳定的成绩,秘诀是什么?

中国队没有常青树类型的人物,像 Halls of Fame 里的 Raid Barton, Christian Reiher, Iurie Boreico, Lisa Sauermann, Alex Song 这样挥挥手 N 块金牌,荣誉一大堆的选手,中国一个都没有。事实上,还没有任何一名选手代表中国队参赛 3 次(但有人进过 3 次国家队)。

道理也挺简单的,中国在 2000 年之前就有了系统的选拔,而且 2010 年之前冬令营只有 100 多人,也就是说你必须在联赛中进入全省最前的几名才能进冬令营,更别说集训队只有 30 人左右,随便一处失误都有可能葬送了你。一个初中生要想冲进国家队,简直是难如登天。2010 年之后的问题,后面再讲。

那么,中国队要怎样才能拿第一?

这个问题,我问过奥数界的泰山北斗裘宗沪老师,时间是 2002 年我入选国家队之后。

(顺带一提, 2002 年的 IMO 中国国家队,不管是我们自己还是老师们,都觉得是一支烂队。裘老师当时给我们下的目标是 3 金 2 银 1 铜,总分前三。)

裘老师当时回答了三点:

  1. 1, 2, 4, 5 四个题不丢分或少丢分;
  2. 3, 6 题对选手的胃口;
  3. 第五,第六名比其它国家的第五,第六名强。

第一条对应稳定,第二条对应运气,第三条则对应短板原则。

在比赛场上,我们完美贯彻了这三点。当年的俄罗斯是一支强队,加上 2, 5 不难,我们在 1, 2, 4, 5 虽然基本没丢分,但并不处于优势。但是,运气站在了我们这一边,比赛中出现了第 3 题这样的要通过代数辅助的数论题(这正是我们的强项),我们在这一题中拿到了全场最高的 24 分,与此同时,我们的五六名(各 30 分)强于俄罗斯的五六名(各 29 分),终于使我们有惊无险地拿下了总分第一。

纵观这 11 年的数据,基本都符合第一点,第二点么需要仔细翻题目,不过很多数论与代数结合的 3, 6 ,我们都做的不差。

关于第三点则有很多经典的例子,例如 2004 年四个满分没有一个是中国的,但中国队的最低分 34 仍处于并列第 28 名,总分第一(顺带一提,总分第二的美国队同样没有满分,最低分 31 仍然不低,第三名俄罗斯虽然有两个满分,但有两个人分数太低,无力回天)。与此相似的还有 2009 年,日本异军突起,在史上第二难的蚱蜢题里拿到了不可思议的 19 分(此题参赛 565 人只有 25 人得分,所有人加在一起还没得到 100 分!!),但一个 23 分使他们最终还是败在了前五题铁板一块的中国队手下。可以看到, 2009 年若将中国的韦教主换成一个 35 分,中国还是会赢,但若将日本队最后的 23 分换成一个金牌分数,中国队就危险了(这里稍微透露一下,在稳居第一,且没有处于金银牌分界线的选手的前提下,队伍一般在协调时不会死皮赖脸地争分,所以事实上中国赢日本不止 9 分)。这也是短板原则所在——毕竟一个满分也就比 35 分多 7 分,而一个低分可能拖累远不止 7 分。

道理都懂,为啥其它国家不能效仿呢?

第一条其实处于前列的国家都在效仿,美国和俄罗斯在 1245 题发挥也不错。第二条纯属运气,无法操控。我认为,数次帮助中国队夺冠,其他队伍难以效仿的,是第三条。

美国队前任领队冯祖鸣老师自小在中国长大,与中国队交流也较多。有几次问过他当年美国国家队的学生水平如何,他经常会说:「今年只有 4 个学生能稳做 4 道题,很悬」什么的。

「稳做 4 道题」即基本能完成 1245 的水平,也是我们所谓「高手」的水平。稳做 4 道题实际意味着学生成绩的期望至少是 5 道题,如果六个学生都是这个水平,那么总成绩期望将至少是 210 分以上。在 2000-2010 年中的大部分年份,中国队所有队员均能保持这个水平。

相对来说,其它国家的队员就难以达到这样的水平了,总会有那么几个差的。即便是 2007 年惜败俄罗斯的时候,中国的最后两名分数也高于俄罗斯最后两名的分数。

这件事在一定程度上也是无可奈何的。尽管训练和选拔机制比中国完善的早,但是毕竟基数有差距,从一两千万高中生里选拔 6 个高手总比两三百万高中生里选拔 6 个高手容易吧。

中国数竞人就这样维持着自己的优势。但是,在 2010 年之后(或者说事实上是从 2010 年左右开始), IMO 这个比赛从题目本身到对手到中国队自己,都产生了一些变化。

(网上应该有很多谈论中国自身问题的,于是我们把这一部分向后放一放。)

IMO 的游戏规则从很早以前就没怎么变过,那为什么题目本身会有变化呢?且听下回分解。

3. 规则的变化

说到题目的变化,首先就得说说 IMO 的题目是怎么选出来的了。

IMO 的题目来自于全世界,比赛当年 3-4 月,各个国家或地区被允许以领队的名义向主办国家(或地区)发送题目,一般来说每个国家最多发 6 道题,都是严格保密的新题,且自认为优质的题目。

这些题目一般有 100 多道,称为 Longlist。主办国家(或地区)在收到题目并整理后,组建一支选题委员会( Problem Selection Committee ),选题委员会的工作是在这些题目中选出真正优质且全新的题目并加以分类,一般来说初等代数、组合数学、平面几何、初等数论四个领域各 6-9 道题,总计约 30 道题左右,并将每个领域的题目按由易到难的顺序排序。被选出来的这大约 30 道题,称为预选题( Shortlist )。在 IMO 考试前几天,各国的领队及观察员 A 提前集中,拿到这些题目并进行品评,然后投票选出 6 道题作为考试题,同时要求每天的 3 道题分属不同领域,且每个领域至少有 1 道题。在投票过程中,每个队伍(领队 观察员 A )有一票。

从 Longlist 到 Shortlist 的过程虽然也挺有意思的,但是与主题无关,这里略去。主要来看从 Shortlist 到比赛题的过程。

在这个规则下,强队所需要关心的不太多,像中国重点关心也就两点。

  1. 2/5 是不是难度恰好,能够让自己的学生基本全拿分,别人的学生拿不全,从而拉开差距;
  2. 3/6 是不是能碰上一个代数题或者是用代数较多的数论/组合题。

对于 2000-2010 年的很多年份,甚至这些都不需要,所以中国队基本不太 Care ,最多控制一下题目难度顺序别错了。

但是对于一些小国家那可就不一样了。如果你是一个小国家的领队,那你该怎么办?

其实这个问题从更早就开始了,小国家怎么训练和选拔学生?什么?你不知道?那回过头看看现在那些「偏弱」的,要冲联赛一等奖的学生怎么准备二试吧。

没错,就是狂刷平面几何,最多带点简单数论和三元对称不等式什么的。国外的天不一定比国内的蓝,很多高手觉得无聊的中国快餐式奥数选手培训流程,被很多小国家一直在模仿,且从未被超越。

那么,当你领着 6 个基本只会做几何(而且还做不了太难的几何题)的选手进入 IMO 的时候,你想要考试出什么题?

首先,你得选几个你的学生能拿分的题。于是乎……

我们要几何!我们要最简单的几何!我们要 G1 和 G2 !(即 Shortlist 中最容易的两个几何, G 即为 Geometry 的简称,后面的 A, C, N 同理)于是,很多年份中的 G1 和 G2 全被抽中, G2 会被放到 2, 5 之一,而它的难度往往连联赛几何题难度还不如!

但是没办法啊,更 DT 的是小国家一出来就是二三十个,你强国也就一票,只能保留意见。当然作为小国领队,弄到两个容易的几何还不够,因为你知道强队终究会靠 2 和 5 中的另一个,以及 36 与你的学生拉开差距。

怎么办?怎么办?于是乎……

KAO !老子豁出去了! 14 不是还有一个位置吗?我们投最简单的! A1 ! N1 !咱们六个学生好歹也是练过的,总能蒙一两个出来吧。36 题我们投最难的!我们要 A8 ! C8 ! N8 !你们不是牛 13 吗!难死你们!

25 还剩一个?没辙了。算了,我们泱泱小国,送你们了,让你们赢去。

……………………呵呵

当然,组委会不会任由这些人乱来,领队一般也不会做得太过分,不过最终结果经常是有两个简单的几何,另有一个超容易的题,然后有一个超难的题。

2000-2010 年的大部分年份都有这个特点,除 2005 年的 36 都很容易之外,其余年份都有一个或两个题很难(神年份 2007 年的 36 都超级难,但我认为 6 是领队们误判题目难度所致,因为 6 看解答并不困难,与此相关的内容后面有详述。)

这个困境总得解决啊,不然 IMO 成套路了玩个毛啊。

于是,我们的 Problem Selection Committee 在 2011 年玩了把大的。

相信当小国的领队们拿到 2011 年的 Shortlist 时,他们的脸上一定是一副「囧」的表情。

看看 G1 ,让你证明两圆相交,我们学生没训练过啊,逗我玩?看看 G2 ,让你证明几何恒等式,我们学生没训练过啊,逗我玩?看看 G3 ,一个四边形…………卧槽这是 G3 吗,怎么那么复杂,我图都画不出来,逗我玩?看看 G4 ,……,卧槽居然到 G4 了!

怎么办?怎么办?看来没有一个几何能让自己学生拿到分了。KAO !老子豁出去了!我们投 G8 !

还可以投一个几何,但是貌似选前几个哪一个都会吃大亏……哎哎哎,组合题里居然有一个组合几何!还是 C3 !太好了!我们投 C3 !

结果……C3 和 G8 ,惨不忍睹。

(另有一说法, C3 的题目叙述有风车,与主办方荷兰很配,于是 Problem Selection Committee 设了这个局,使得 C3 能够入选,另外当年投票环节也出了一些小问题。)

组委会发现这样也不行啊,只换来一场闹剧,于是在 2012 年调整一年之后,开始出现了一个新的潜规则: 1245 四道题里必须每个领域一道题。2013 年到 2016 年的四年均遵循了这样的规则。

在 2013-2016 四年中,除 2015 年外,其余三年的 25 都属于正常难度( 2015 的第 5 题偏难了,可能是因为泰国搞了大飞机,在第一天考试结束时把原来第二天的题目误当成第一天的题目发给了考场外的副领队们,结果又重新投了一遍题目的缘故)。容易看出,新规则下更考验学生四个领域的平衡性,有一个领域有短板就很容易拿不到四个题。

而另外两个难题呢?很不幸,它们仍然被掌控着。平面几何和组合更容易有那种很难,但同时很漂亮,解答还能看的难题,所以 2013-2016 的 36 无一例外是几何 组合(个人认为今年第 3 题实际上应该算几何或者组合,数论的东西用的很少,都是平凡的)的搭配。

IMO 的规则在慢慢变化,但光靠这点还不足以让中国以往拥有的巨大优势土崩瓦解。那么,美国队迎头赶上,连续两次获得团体第一还有什么原因呢?这就得说说美国队的训练和选拔方式了。且听下回分解。

4. 真实的美国

「美国人数学很差。」这是 99%中国人的感觉。

真实情况呢?美国的基础教育中,数学的强度确实远弱于中国,但是美国的基础教育可是下午两三点就放学了,课后的辅导班层出不穷,顶尖的孩子学习数学的强度和深度绝对不弱于中国同层次的孩子。

「美国队拿 IMO 冠军全靠中国小孩,美国队 6 个人全是中国人或者华裔。」这纯属无良的,想拉风的媒体的报导,如果你连这都信,那我写的东西就不用再看了。

真实情况呢?自己去搜搜美国队小孩的名字,一般来说 2-3 个中国人或华裔就封顶了。

最近也爆出中国小孩「转会」到美国的风波,但是我们冷静下来想想,能「转会」的,要么应当是原来在中国考不进国家队的孩子,要么是由于政策或制度原因才去的其它国家吧。

2009 年在德国,我们的学生和加拿大队的关系很好,加拿大队的 Danny Shi 和 Robin Cheng 等人便是在小学或初中时从中国转学到加拿大读书的孩子,他们也坦然地说自己在中国考不进国家队。最后中国队最低分 35 分, Danny 考了 34 分, Robin 考了 29 分(金牌分数线 32 分)。如果靠这些孩子能打败中国队,那不是更说明我们的训练和选拔机制不如人家么?

关于后一点,如果是从小呆在美国长大的,那教育与中国无关,如果半路出去的,去搜搜小山智丽吧(中国真的出现这个情况,只能说明我们的体制还有待完善之处)。

回到正题。先来看看美国队是怎么选拔和训练的吧。

美国中学生想参加 IMO ,第一步要参加的比赛叫 AMC , AMC 分 8, 10, 12 三个年级,同时考试,试题有 25 道,限时 75 分钟,每道题都是 5 选 1 的选择题,答对得 6 分,答错得 0 分,不答得 1.5 分(这是鼓励不要乱蒙答案)。

AMC 的难度很低,即便是最难的 AMC12 ,前 5 题都是中国小学口算难度, 6-10 题基本上中国高考选择都不会出,前 17-18 道题对于稍有中学竞赛经历的学生都不算题目,真正有点棘手的问题也都出现在 22 题以后。

AMC12 里得到 120 分以上,或名列所有参赛选手的前 5%, AMC10 里得到 135 分以上,或名列所有参赛选手的前 1%,即可参加下一阶段的比赛,称作 AIME。对于学过竞赛的学生来讲,这都不叫事。(此处数据是往年的,可能有些不准确)

AIME 是一个时间为 3 小时的比赛, 15 道填空题,每道题的答案必然是 000-999 之间的数字,为此题目的问法有时会很怪(自己去看几道就明白了)。AIME 的难度开始增加,大约相当于中国联赛一试填空和解答之间的难度,并且计算量更甚,最后一两题将在此基础上更困难。

将 AMC 和 AIME 的成绩综合起来,名列前茅的选手可以参加下一阶段的比赛,称作 USAMO (即对应中国的冬令营)。一般来说, AIME 做对 10-11 个题,加上 AMC 的底分足够让你进入 USAMO。不过在中国随便找一个省(不是最强的那种),可能只有几十人能达到这个标准。

AMC 和 AIME 的形式看似不太好,但是它却有一个无可比拟的优点,那就是阅卷容易。由于全部题目都是选择填空,而且填空是可以填答题卡的,所以阅卷成本和错误率都几乎为零。这样,可以保证一个真正优秀的数学竞赛生能够稳进 USAMO。

USAMO 参赛人数众多,一说有三四百人,跟现在的中国冬令营规模相同。USAMO 只考 6 个题,选拔几十人成为美国的集训队。到此为止好像和中国的制度没啥不同。

说到集训队,亮点终于来了! USAMO 是四月考,集训队再推后根本没有时间组队或办签证,但是老美早安排好了,他们的集训队是为下一年的国家队准备的!!

老美的集训队选出 8-10 个「候补队员」,他们将与当年的国家队一同训练,当年 IMO 结束后,这些人将与国家队里还想继续做的人一起成为下一届的重点培养对象。从当年 IMO 结束到大概第二年 USAMO 结束这段时间,他们将进行大量集训,并四处参加比赛或自己来模拟测试,最后由领队综合各次的成绩选出 6 个最优秀的队员组成美国国家队并持续训练到下一届 IMO 开始。

这样的制度有两个优点,

第一,真正优秀的学生只要在 USAMO 发挥好(或者说别发挥差)就可以了,后面都是大量集训,完全能考出真实成绩,也能看出一个学生的优点和缺点;

第二,选拔之后的训练,强度也远超其它国家。相比老美的一年左右的训练时间,中国队不到四个月的训练时间显得相形见绌。(当然这套东西是不能搬到中国的,后面细讲)

若说缺点也有一个,就是要求你高二必须考出来,高三去考 USAMO 是进不了国家队的(另一说是如果超级优秀可以考虑)。

IMO 说到底还是个比赛,取得好成绩的方法从本质上来讲和大多数体育比赛并没有什么不同。这里转一段别人的文章。我第一次看到这段话是在微信的「Lens 杂志」上看到的,深以为然。

「心理学家 Ericsson 的研究发现:决定伟大水平和一般水平的关键因素,既不是天赋,也不是经验,而是『刻意练习』的程度。刻意练习是指为了提高绩效而被刻意设计出来的练习,它要求一个人离开自己的熟练和舒适区域,不断地依据方法去练习或提高。比如足球爱好者只不过是享受踢球的过程,普通的足球运动员只不过是例行惯事地训练和参加比赛,而顶尖的足球运动员却不断地发现现有能力的不足,并且不断以自己不舒服的方式挑战并练习高难度的动作。」

换句话说,如果你的水平去 IMO 能平均做 4 个题,而你还盯着 IMO1245 难度的题做,那就是在舒适区,提高不会显著,你要做的应当是挑战 36 难度的题目。如果你的几何好,组合差,那么继续做几何题不会给你太大的帮助,你应该尝试着做你原来很怕的组合题。如果你已经是 IMO 保 5 题争 6 题的水平,你应该做的是继续挑战更难的题目。

老美在这一点上做得很好,因为他们在 2010 年前后引进了一个新的玩意儿——ELMO。

ELMO 是美国当年的国家队队员( Sophomores )出题来虐待新进来的候补队员( Freshmen )的一个练习,它还有 Shortlist。在我看来 ELMO 是一个「反人类」的东西,它的 Shortlist 远难于 IMO 的 Shortlist ,如果一个中国学生能够做出 ELMO Shortlist 里 60%以上的题目,那么他绝对可以在中国的数学竞赛里横着走。

ELMO 和它的 Shortlist 就是地地道道的刻意练习了,正如中国举重队上台举 120 公斤练习举 140 公斤一样,到了国家代表队这个层面,思考超出你目前水平的题目会对你的水平大有帮助。与此同时,将要出征 IMO 的 Sophomores 还有一次命题的练习机会,对解题亦有不小的帮助。

前面说过,美国顶端优生的数量比不过中国,但是美国的选拔制度却将这些人基本都筛了进来,而魔鬼般的训练体系则使他们比原来更厉害。即便是 4 个「高手」和 2 个低一层次的「准高手」,经过长时间刻意练习后,也有和中国 6 个「高手」一战的实力,更不用说运气好的时候能凑齐 6 个「高手」的情况了。而这,也是美国能连续两届拿到 IMO 团体总分第一名的一个重要原因。

美国的训练和选拔机制有些「反人类」,但它仍然长期存在并且得到了学生的认可,这又是为什么呢?且听下回分解。

5. 环境的优势

本节涉及大量主观观点,不喜请屏蔽。

上一节最后提到了「刻意练习」,我们在进入正题之前纠正两个相关的不当想法。

想法 1 :在数学竞赛上「刻意练习」就是浪费时间浪费生命,就是「黄赌毒」,应该严厉打击。

上一节也说了,像 IMO 这种世界级的比赛,刻意练习是必须的。马上就是里约奥运会了,想想有多少参加奥运会想拿牌的选手没刻意练习过?恐怕一个也没有。若是练跑步打球游泳的人刻意练习是应该的,练数学竞赛的人刻意练习就是黄赌毒,那不就成了双标?

啊对,你说竞技体育有表演性质,体育运动员是兼职演员,所以得刻意练习。那我给你找个没表演性质的,或者外行无法欣赏的东西——围棋。照这个道理,那个李世石,别刻意练习了,浪费生命;那个柯洁,别刻意练习了,浪费生命;那个阿法狗,别…………算了你生命无限,随便练随便练…………

抛开这些不谈,回到数学本身,别忘了想学好数学,多做难题也是必须的,不然吉米多维奇是干啥的?连数学本身都需要一定的刻意练习,就别说数学竞赛了。

想法 2 :既然「刻意练习」能出成绩,我不管是什么水平,就「刻意练习」好了。

练习要和能力匹配。在竞技游戏中,你的能力(或者称之为等级)越高,刻意练习的绝对收益可能不变甚至更小,但是相对收益更大。

苏炳添一百米原来跑 10 秒 2 ,练习 N 年跑 9 秒 99 ,从亚洲级跑进世界级。你一百米原来跑 15 秒,练习 N 年跑 14 秒,从街道级跑进……还是街道级。

明白了吗?

只有顶级的选手,才配得上大量的刻意练习来提高能力。以高联为例,一个省上万人参加高联,只有五六十个省一,如果你自问数学水平排不到省里前一两百,请把更多的时间花在高考或者其他事情上,把竞赛当作一种爱好,把高联当成一次自我检测或者一次娱乐。

这里第一次强调,如果学竞赛只是为了拿奖,那么感觉不适合或达不到拿奖的水平请立即退出。我不希望再看到家长哭着问:「为什么我家孩子学竞赛学了那么多年,连个奖都考不到?」高中竞赛不是小学生过家家,它是残酷的淘汰赛,有的孩子连快餐式培训流程都接受不了,还想要拿奖,最终就是费钱费时间,还只学到了一些皮毛(以后也用不着的东西)。

回到正题。美国小孩为什么认可「反人类」的重复训练?我认为原因有三点,其一是有兴趣,其二是有保障,其三则是荣誉感。

美国的选拔制度,使得真正的天才选手不需花费太多时间在 AMC 和 AIME 的备考上,可以直接跳到备考 USAMO ,这样前期基本不需要刷题。前期做得适度,后期就更容易坚持兴趣。而且老美的尖子生也少,真正的天才不需太多训练就能考出来,而达到一定高度之后再去刻意练习,会使学生最终的等级更高。在此也奉劝数学竞赛的天才和小天才们,到达顶峰之前少刷点题,多开发思维,多保持兴趣。

当然,哪个国家都不缺乏有兴趣的孩子,那么第二点就是老美独有别人基本学不来的:保障。

哪个国家高中还学竞赛的孩子都会想,我花了那么多时间做这个,甚至到后期就是反复训练,万一失败了,谁来保障我的权益?我去哪读大学?

老美做这个当然容易了,老美那么多名校, USAMO 就三四百人,大不了都收了去。换成其它任何一个国家,恐怕都做不到吧。

另外老美还有一个隐藏的优势,就是老美从 USAMO 开始(或者说从集训队开始)可以认为基本没有考试以外的奖惩。也就是说,进了这个小圈子,大家基本都是名校随便挑,考好考差都没所谓。

这样,既可避免学生过于功利化地学习,让不是真心想在 IMO 上有所建树的孩子自动退出,还可以尽量避免不公平竞争(如作弊等)影响最终选拔的公正。

真正有兴趣的孩子,会在这个机制下,如同还没出名的竞技体育运动员一样,心无旁骛地主动刻意练习的。

关于荣誉感,先放上我与一位朋友在 2014 世界杯时探讨出的一个结论。

「在竞技比赛或者任何事情上,一个人或一群人能做出傲人的成绩(排除天分),要么就是他们需要用成绩来改变自己的命运,要么就是他们有着极强的荣誉感和使命感。」

例如,同样是踢足球,南美的运动员就是前者,欧洲的运动员就是后者。两者都不占的,必定踢不好。

不得不承认,老美从国家文化上就特别注重荣誉感和使命感。日本的 IMO 队员可以在头上围「必胜」字样的头巾,韩国的领队可以为了一分用尽方法,朝鲜人甚至可以不遵守规则,但他们比起老美来,可都差多了。老美的潜移默化的洗脑,是比前面那些都更加恐怖的存在,这一点想必很多人比我更加有体会,这里就不说了。

老美的选拔制度,高等教育条件和国家文化使得它的「反人类」体制可以继续下去。在整体的选拔与训练上,美国人已经领先了一大步。与此同时,中国的情况如何呢?且听下回分解。

6. 拥挤的游戏

上一节讲到了美国现在数学竞赛上顶尖的小孩所处的状态,看起来说了不少老美的好话。我这里声明一下,我绝不是美分。

其实我在前面有不少伏笔了,相信跟我同时代或略早于我的数竞党都应该能猜到了,包括我在说 ELMO 的时候也用了「引入」这个词。

事实上,上一节讲到的美国小孩拥有的所有状态,兴趣,保障(高端无奖惩)和荣誉感,那都和我读高中时(或前后)中国小孩拥有的状态几乎一致!

2000 年前后,还有很多参加冬令营的同学在参赛前甚至不知道进了冬令营能保送,冬令营金银牌可以直接进清北(现在的同学别羡慕,那时候金银牌加一起也就六七十人)。

我们考完冬令营之后,郑志明塞给高分的学生一人一张纸,说这张纸就是北大录取通知书,那时候还是有一些人不信他的话。

那个时候学竞赛,真的靠的都是兴趣。

我上高中的时候有个很旧的文曲星,上面存了 2001, 2002, 2003 年部分国家集训队同学的名字及去向。那个时候大约三分之二的人去北大读数学,大约四分之一的人去清华读计算机或者基科班,剩下的人还有读物理的,出国的凤毛麟角。大家都是清北,高端无奖惩,全凭自愿。

关于荣誉感,那个时候多多少少都是有一些的,可能因为我们读高中的时候更单纯一点吧。包括拿了金牌回来还是能显摆显摆的。顺带提一下,我的两块牌分别是安妮和德仁颁发的,安妮看起来不太容易升级了,我现在就等明仁退位了……

包括到达一定高度后的刻意练习,中国早就有了。那个时候的国家队队员需要每人提供 20 道难题(当然不一定都是原创),然后互相考(所以我前面才用了「引入」)。2001 年的时候我旁听国家队集训,被 6 个队员加上一堆教练虐了 20 多天之后水平一下子有了质的飞跃。这个 20 道难题有多难呢?我拿了一个我自己提供的比较难的组合题去考 2009 年的国家队,只有一个人做出来,还不是最强的那个。

当然, 2003 年到现在也 13 年了,朝代更替,变化诸多。不过呢,除了大的政策之外,剩余的都是慢慢变化的。我个人认为,影响最大的一个变化,或者说根本的原因就是,参与的人变多了。

我们读高中的时候,真没多少人好好做竞赛。我记得那时北京市在高联结束后会组织冬令营培训,我高一的时候正式队员 6 个,旁听生算上我不超过 10 个,就一个小班,在人大附中每周末上一次课。都谁给我们上课呢?有周沛耕,陶晓永这样的老师,有邹瑾,韩嘉睿,袁新意等 IMO 金牌,后来肖梁毕业之后他也来讲过。这种课没多少来听的,只能说明竞赛这东西根本没多少人玩。

其它省份也差不多,好好学竞赛冲冬令营的人最多几十个,其他人大都打酱油。

那个时候有很多人高联只考一试不考二试的,因为考二试要多交十几块,当然这十几块只是顺便省下来的。

那个时候冲冬令营的人都是二试冬令营一起准备,基本不刷一试题的。

2001 年 10 月我参加高联的时候还考砸了,一试一个短轴算了半天填了个短半轴,二试一个组合题没完全写清楚。即便这样,我比北京的分数线还高几十分。很多同时代的同学都有类似的感受( 2000 年高联除外,题目过于简单)。

一个省只有几十个人好好玩的年代,这么玩当然可以。但是一个省上千个人玩命准备的时候,这么玩就不行了。其实人家水平比你差远了,但是人家高联一试能刷到接近满分,二试做一几何,直接 200 (那个时候一试 150 分,二试 3 个 50 分题),你要是还按老办法玩,没准就直接 OUT 了。

这么多人挤进来,大都是为了好政策。高联一等奖能拥有保送资格,万一冲进冬令营蒙个两三道题没准能进清北,诱惑太大了。

于是,年轻的天才们一年比一年付出更大,一届比一届刷题更狠,只为了在几千个非天才的围追堵截下冲到前几名。

惨不忍睹。 真的惨不忍睹。

不能怪任何刷题的非天才和他们的家长,制度如此。 中国的优质高等教育资源实在是太匮乏了。

如果中国能有 20 所清北, 200 所双一流(或 985 ),可能事情会好办很多。可是中国没有。

2009 年,我第一次参加冬令营阅卷,当我看到一份 30 多分的卷子(冬令营 6 个题,每题 21 分,总分 126 分,当届需 102 分才能进集训队)的主人,联赛是 260 多分的时候,我先是诧异,然后是无奈,最后则是深深的叹息:可能就是因为这个人,一个高手被挡在了冬令营的大门前。

对于高联-冬令营-集训队这一条线来说,选拔国家队是其中一项重要任务,如果高联就把全国的高手削掉一半,那后面还怎么玩?

所以,高联被迫改制度,经过 2009 年的调整之后,最终改成了现在的 120 180。

即便是这样还不够,伴随着教育部的政策,数学会和奥委会又大幅度增加了冬令营各省的参赛名额。 即便是这样……还不够。

负责任地讲,同样在不玩命刷题的前提下,一个高手现在想进冬令营,难度要远大于 13 年前。即使现在是 400 人冬令营,那时候是 100 人。

水涨船高。 有办法解决吗?现在来看,真没有什么能快速见效的好办法。

不幸中的万幸是,高手毕竟是高手,高手也刷题,谁都挡不住。一阵玩命死刷题之后,大部分高手也能冲进冬令营。但是这样的高手,由于过早地接触重复训练,对后面多多少少会有一些影响。

参赛人数的增加,直接大幅度增大了真正高手一飞冲天的难度。不仅如此,它还通过其它方式间接增大了这个难度和不确定性。究竟参赛人数的增加会产生哪些连锁反应呢?且听下回分解。

7. 疲倦的裁判

参赛人数增加,第一个影响的就是阅卷的困难。

2015 年 9 月,我有幸参加广东省高联的阅卷和复查。阅卷的时候, 14 个大学老师, 7 个题目(一试 3 个大题,二试 4 个题),差不多一千份卷子。

初改要一天完成,毕竟大家都是老师,都有教学任务,谁也没太多闲工夫。初改不计复核,一个人也要面对五六百张卷子。一天改五六百张卷子的一道题很难吗?很难。

竞赛不是高考,联赛的解答有的你读懂就要五分钟。竞赛不是高考,不按标准答案做的人多了去了。像二试第一题这种题目,据不完全统计,有十几种不同的解法。竞赛不是高考,你必须判断出学生的解答是基本对还是基本错,是有小瑕疵还是有大漏洞。

还有更坑的呢。我改几何的时候看到一张卷子写由托勒密定理 blablabla ,由角元塞瓦定理 blablabla ,由笛沙格定理 blablabla ,证毕。我当时真有一种想把这个骗分的家伙拉出来的冲动,最后还是放弃了。孩子是无辜的,没准就是被无良老师教的。

我那天算是试出来了。我一个白天的极限是改八百道题,复核不算,而且中饭和晚饭都是味同嚼蜡。 第二天我还要上课,我晚上躺在床上,进祖坟的心都有了。我不禁怀念我读书的时候,那时候要是去改卷,可比现在轻松多了。

梦想是美好的,现实是残酷的,因为改卷完了还有复查!复查!复查的卷子少了一大半,但是复查的题量变成了全部!而且复查的题里大部分都是写了东西的!坑哥啊!

我觉得吧,如果只是为了钱,有人拿百元大钞砸我我都不干这个活。也许是因为我自身的经历吧,我每次拿起红笔的时候心里都是很严肃的。学生实力不够或者没发挥好, OUT 了就 OUT 了,但是学生做对了判错了,这是无论如何不可以的。

高联如此,冬令营更甚。现在 400 人的冬令营,想想就头疼。

首先,冬令营的题变难了,解答也变长了,尤其是时间变成 4 个半小时,够写四五篇作文了,想编点什么东西很容易。经常会出现读十分钟还没读懂答案的情况。

其次,冬令营的每一分都很重要。高联的 30 分和 50 分没区别都是三等奖, 100 分和 120 分没区别都是二等奖,只要重点照顾一下省一左右或者以上的卷子,就不会出问题。冬令营可不行,各大学校都看这个成绩招人呢。去年要是一个 48 ,一个 45 ,前一个可能就是清北,后一个可能就是孤魂野鬼啊。所以冬令营这种比赛,卷子要复查多少遍,没改过卷子的绝对想象不到。

还有,正因为冬令营分数敏感,复核的时候经常要充分讨论,更别说一个题的对错能折腾一两个小时的事儿了……

这里还是要向参加或将要参加高联、冬令营等比赛的同学和家长们说一句:我们知道你们急,但是我们更急;我们知道你们想要公平,但是我们比你们更想比赛公平。

话说回来,十年前改卷儿的,最少待遇是专家级的,现在改卷儿的,真就是搬砖的家伙。

有人不禁要问了,这么多卷子,为什么不多找些人啊。

我觉得道理很简单。

  • 第一,真没太多适合的人。能看懂竞赛卷子,愿意做这件事,还没有直接利益相关的人太少了。
  • 第二,同一个题不能有太多人改,不然很容易出现你改的严,我改的松的情况。理想状态是 3-4 个人一组,而且互相复核,共同讨论。
  • 第三,人多了,各种产生的负担就更大了。

现在来改卷的大都是纯奉献,但真的不确定大家还能坚持多久。 改卷的也是人。

参赛选手多了之后,阅卷的困难是可以预计的。但是,阅卷的困难又进一步地刺激了某些改变。到底是什么改变呢?且听下回分解。

8. 混乱的训练

本节再次涉及大量主观观点,不喜请屏蔽。另外请勿对号入座。

在讲阅卷困难导致的改变之前,我们先从参加人数增多讲起。

参加竞赛的人数增多,另一个直接的影响就是培训教师的缺乏。

一个省几十个人正经搞竞赛,最多一两个班就行了,老师是永远不缺的。尤其像北京这种地儿, IMO 金牌想来讲课都得排队,更别说国集水平的同学了。

但是现在不一样啦,一个省几千人搞高联,怎么也要弄出三五十个班来,而且大家劲头都很足,算下来最少要近百个老师才能带的过来。

一个省能有一百个教高联能教的明白的老师吗?很负责任的说,凡是叫「省」的,都没有。

小学的竞赛,读完高中成绩优良的理科生基本都能讲,真没多少东西。唯一的区别是有的老师讲的真是好,而大多数人只是能讲而已。

初中的竞赛,大学读数学系,接触过竞赛的好好练两年基本都能讲,真没多少东西。唯一的区别同样是有的老师讲的真是棒,而大多数人仅仅是能讲而已。

高中的竞赛,那可就不一样了。

小学的竞赛可能以初中的知识和思想为背景,初中的竞赛可能以高中的知识和思想为背景,这些都好掌握,掌握了这些的老师,至少在讲授时层次会高于学生,或者通俗一点讲,最少可以装装 13。

高联或者高联往上可就不好玩了。平面几何和对称不等式什么的,还能用时间堆,做上五六年最少耍起把式来能挺像样的。但是代数呢,没有分析和方程的功底,以及数感和放缩的技巧很难讲透;数论也差不多,把进位制、同余、完系和阶弄完之后,后面要么是在分析整数的结构,需要懂一些环和域的东西,要么是和组合结合的问题,运气不好冒出来一个小孩拿本解析数论来问你你可就呵呵哒了;组合更是要命,归纳反证极端原理仅仅是初级工具,既有极富初等思想的不妨设、对称、算两次,也有用对应或同构转化问题,还有母函数、线性代数等等高等的知识和技巧,更不用说组合可以和代数、几何、数论中任一领域结合,简直是无边无际。

顺带一提,个人认为代数里真正经典的是多项式,学过复变的都明白。可是多项式这玩意能代数能数论能组合,各种天坑,能讲明白的太少,学生会的也少,最后还反过来导致不敢随便考……

大部分老师,苦练数年,能讲明白一个领域已经十分了不起了。况且现在的状况,大家都是快餐,没有多少老师再愿意去像以前那样花很长时间只为弄明白一块内容,那样还不如去讲初中小学,学生更多,更赚钱。

一个省就零零星星几个能讲明白的老师,更悲催的是没准这老师还是清高型不愿意讲课,或者学术型天天三点一线,一般的学生和家长甚至连面都见不到。

那这几千个学生找谁去辅导?当然是不靠谱老师了。但是不靠谱老师怎么镇住学生?当然有办法了。个人觉得办法基本就那么几个:讲套路,讲难题,背答案,教骗分。下面一个一个介绍。

讲套路,事实上是只讲套路,把竞赛难题按照讲高考容易题的方法讲。

其实我不反对讲一些套路,一个完全没接触过高中竞赛的孩子也是需要学套路的,但是把套路当唯一思路就不好了。数学怎么说也是锻炼思维的,这样不是在教孩子而是在毁孩子。当然了,如果家长和学生觉得靠这么学能上个好大学,毁毁孩子也无所谓,那我无话可说。特别还有一些老的竞赛难题,在新的竞赛书上有了系统理论之后就成了套路题,学生发现自己能做很难的竞赛题,那感觉就像武林外传里的李大嘴学了降龙十巴掌之后一样。

顺带说一下,个人觉得 2015 年的冬令营在新颖性上做得很好,六个题没一个能套路。不等式一调整就坑了,组合题不能归纳,平几题基本解法动不了,上解几又困难重重,数论题又考了多项式。冬令营的成绩一下子让我们看到了现在的学生做新题时的孱弱。考完之后猜国集分数线,主试委员会的猜测都集中在 72 到 84 分之间,结果……不客气地说,如果这套题拿去考 2003 年前后的冬令营,国集的分数线估计会到 81 分左右(那时约 25-30 个国集),也就是说现在的高端战斗力做新题的能力也没比以前有提升。

讲难题,顾名思义就是类似给非顶尖的初中生讲冬令营,给非顶尖的高中生讲普特南这样的做法。

数学是循序渐进的过程,违反自然规律的事可是要不得,偶尔讲一个题让孩子了解高度是可以的,但老是这样做就不好了。但是这样家长和学生可以膜拜啊,他们又找回了学习小学竞赛和初中竞赛时的感觉啊,就是这个 feel ,倍儿爽!但是这样做的一个很大的问题就是学生根本动不了笔,从而会养成只听课不思考的坏习惯,以后就是见了题都眼熟但是都不会做的节奏。我自己就会说,这个孩子被教「废」了。

背答案,这里注意是背答案而不是看答案。

看答案是一个优秀的竞赛老师必须具备的技能,毕竟你不可能像学生一样每个题都做。看答案并非只是看答案,而是要根据答案来辅助理解问题,有时能举一反三得出其它解法,即便没有其它解法也不要紧,最少能总结出解答的哪些步骤是关键,再深一点可以总结背后有什么东西,在什么动机下能想到,是不是自然的,如果学生自己做的时候遇到困难,应当怎样给予提示才能收效最佳,等等。背答案那就性质不一样了,脑子里一背,黑板上一抄,然后解释每一步为什么对,这样好像跟直接发答案没什么区别。

教骗分,上船之后必做的事。

题不会做怎么办?乱写一阵,所有你知道不知道名字的定理都写上去,总有阅卷老师看不懂的,看不懂他就不敢给你判错。尤其是证明题,没准就蒙到了。证明的题,尤其是几何,条件推一堆,结论推一堆,中间差一步,写上个显然。可是孩子啊,数学是严谨的,不是靠蒙的,这可比学套路什么的严重多了。学数学之前,先要学会做人啊!如果你不知道自己做的对不对,写上去无可厚非,但是你要是知道自己是胡说八道还写,那就是人品问题了。上一节也提到了,现在的竞赛阅卷压力很大,若是放到之前,阅卷老师完全有时间陪你玩,可是现在不行。因此,很多人就钻这个空子,就赌阅卷老师不敢判错,而这又反过来加重了阅卷者的工作量。冬令营级别的阅卷人尚能保证识破这样的忽悠,但联赛级别确实偶有漏网之鱼。记得某年冬令营,某省所谓最强学生,做了 6 个题有 4 个伪证,大抵就是这个原因罢。

竞赛参赛的人数增多导致了一些不靠谱老师的产生,但这还不是最严重的。还有什么更令人头疼的事情呢?且听下回分解。

9. 脆弱的学生

先讲点上一节没讲完的东西。

上一节讲到有很多不靠谱的高中竞赛老师,先说一下他们为什么不去好好教小学初中呢?个人认为还是高中竞赛老师的特殊地位。毕竟小学和初中的竞赛老师确实很多,除非教得非常好,否则没有太高的地位。另一方面,大多数家长和孩子还是拿小学竞赛当小升初的敲门砖,拿初中竞赛当进好高中的敲门砖,同时他们也意识到,大多数市里县里的好的初中高中还是可以靠钱或者关系搞定,但是搞定优秀的大学是非常困难的。另外,省会级城市的第一名学校和第五名学校的教学差距,未必比得上优秀大学里哪怕是头批 985 和二批 985 的差距。经过 9 年(甚至超过 9 年)的竞赛长跑之后,大家也都把高中的竞赛当作终点。

回到正题。

高中竞赛的参赛人数大幅度增加,不能赖政策,也不能赖不靠谱老师,初中高中的招生也仅仅是影响小学初中的竞赛。最终的问题,还是出在学生和家长身上。

近些年的高中生,大多是在 95-00 年出生的。这些孩子,从出生开始就一直被捧上天的人绝不占少数。尤其是如果还能学习号称是尖子生才能学的奥数,那简直就是飞机中的战斗机了!

所以,这些孩子全都成了布袋和尚——说不得。

可是事实上呢?奥数只适合 5%的孩子学习(注意只是学习!),可是光参与的孩子恐怕就要超过 20%。现在前 20%的孩子能上啥大学?二本可都不一定(还有部分学生读不到高考的,所以 20%到了那个时候可就是 25%甚至 30%了)。

天分不够,水平上不去,玻璃心倒是养出来了。

小学的时候呢,多学一点,能听懂也行,当个兴趣爱好。可是慢慢长大了,再花大量时间学竞赛,啥都听不懂,可就没有必要啦。

再说了,竞赛这个东西本来就是逐步淘汰的,学不懂就不要再花时间坚持,十年二十年前的家长都懂,为毛现在的家长就都不懂呢?

这种坚持,说好听的叫做破釜沉舟,说不好听的那就是无谓的坚持。

小学到初中是要淘汰一拨人的,初中到高中也是要淘汰一拨人的。我考华杯赛的时候华杯赛决赛的金牌,也有几个高联省一都没拿,这都很正常嘛(没准人家去搞其它竞赛了)。现在更是如此,小学竞赛全是填鸭,考好根本不代表什么,可能只是刷题多。到了高中,你以为你还能只靠刷题?

当然了,这个东西和学校以及校外的培训机构多多少少都有一些关系。学校嘛,总是希望更多的学生参与这些东西,最少述职报告上可以写写嘛;培训机构就更不用说了,多一个学生多一份钱。但是关键,还是在学生和家长身上。

即便是培训机构,只要是正规的,都时常会有考试和分班,跟不上的就学一些简单的呗,这不是很正常吗?竞赛这玩意再怎么说,每年也是要淘汰一部分人的,如果机构招生进来是 10 个班,讲了三年竞赛还是那 10 个班,一个人都没变,也没有人员交换,可以肯定这是个骗钱的机构。

可是这倒好,这种考试和分班制度,却被家长投诉说是歧视,不人道……

初中竞赛,考试分个班, 60 人分两个班,结果 50 名左右的都要去快班……

高中竞赛,到高二要停课集训,结果高一的联赛考 40 多分,高二模考从没上过 100 分的孩子都要去停课……

这种事见多了,见怪不怪。

你去劝学生,学生不听。你去劝家长,家长说:「凭什么我家孩子就比别人家孩子差!」

哭笑不得。

很多家长经常挂在嘴边的一句话就是:「我家孩子学得挺好的,就是没考好。」

应试是有可能有高分低能的,但是绝不可能有低分高能的,竞赛就更不可能了。判错了我信,没考好我不信。

这些孩子还听不得批评,当然老师也懒得批评。想想也是,在学校里的时候老师肯定管不住,谁愿意冒那么大险管教你家孩子啊?万一被你打了咋办?打死了咋办?到机构里人家机构就是讲课收钱的,家长和学生就是消费的大爷,更不会惹你不高兴。

这里插一点别的东西。

就业难因为什么?因为毕业生高估自己。就这一点没别的。

一本学校出来想一月两三万,想没想过每年毕业接近一百万的一本生,大学扩招的十几年就是近两千万人,可是全中国有多少人能到哪怕是一月一万?这个数字远比你想象的要低。

一般的大学里,你在学校是学霸,是风云人物,出了校门啥都不是。但要命的是,你还觉得你是个人物。

清北即便有一些舆论的影响,还是清北。只有在顶尖的大学里,你才能认识到和真正的神犇之间的差距。校内校外一比,才能精确的定位自己。有的事就不是你能做成的,或者做成的概率不超过彩票中头奖的概率,人要认清现实。(当然,如果你认清现实之后还有这个理想,那肯定要无条件支持)

回到正题。学竞赛的学生和他们的家长,高估的人太多了。 最后的结果大概就是这样的。

四千个水平远不够省一的孩子和两百个水平有希望冲省一的孩子(这里包括十个很牛的孩子)一起玩命训练,一起考高联。该省省一有 60 个名额。

对那四千个孩子,由于题目变化,神发挥和阅卷误差等原因,冲到省一的概率就是 1%,最后有 40 个省一。 剩下 200 个孩子瓜分剩下 20 个省一。

结果呢,那 3960 个孩子自然是撞了南墙回头,你以为那 40 个能幸免?金秋营,自招分分钟把他们刷下来。不仅如此,他们还耽误了宝贵的时间。本来裸考能上 985 的,最后可能连 211 都悬。

但是剩下那 200 个就 DT 了。尤其是最好的十个孩子,完全是大坑。没准冒出来个谁谁谁就抢了一个省队的位置。

那 4000 个孩子坚持搞竞赛,得益的是谁?只有学校和竞赛老师,不解释。

我还是不说那句 4 个词 10 个字母的话了。

非顶尖水平的学生,其实并不适合在高中还继续花费大量时间学习竞赛,但是由于孩子的脆弱及家长的保护心理,他们还是选择了继续。那么,对于真正的顶尖学生,情况又是什么样呢?且听下回分解。

10. 倍增的压力

非顶尖的学生的继续,使得顶尖学生的晋升压力变大。但与此同时,还有更大的压力等着他们。

第一个原因当然是保送制度,以前的话就算是没进省队的省一也能不用高考了,去哪儿另说,最少好听啊。另外高二弄个省一之后就可以完全弃综合了,高三考不进去也认了,不会没学上。当然,我也见过两科竞赛省一,发现保送没好学校去,放弃保送再回去高考考到清北的,这种犇这里不讨论。

第二个原因,则来源于学校和背后的培训机构。近年来重点高中为了吸引尖子,打打旗号是必须的,一个集训队都能给学校加不少的分,更别说物以稀为贵的国家队了。据我所知很多学校都打出了明码标价,什么成绩能拿多少钱(话说我咋没赶上这好时候……)。不过别以为这是有比没有好。考高联的时候的高中生最多也就十七八,有个「赏罚分明」很容易让他们情绪更加不稳定,容易想多。另外,指导老师也会在后面不断叮嘱不断打气,但这明明就是让学生更加紧张的做法嘛。培训机构就更别说了,对于尖子那是好吃好喝供着,但是谁也不是傻子,你要没考好看人家还理你不。

当然,前两条说到底也没多大影响,而且尤其是冲进国集之后就基本等同于没影响了。真正能影响顶尖高手在国集和 IMO 发挥的压力,在哪儿呢?

舆论。 当然是舆论。

去年 8 月, 2015 年的 IMO 国家队包括领队副领队和队员上了鲁豫的节目,相信关注数学竞赛的筒子们都已经看过了。不知道大家看完之后什么感觉。

我当时看完之后,只有一种淡淡的哀伤。

上节目这种事,本来就是容易说多错多。如果只是简单背几句台词还好,现场(录播还好一点,直播更惨)如果说错一句话,那可就是一失足成千古恨啊!

上节目这种事,本来应该只找成年人的,找熊总和秋生哥做个采访就完了。两位领队都是老江湖了,年岁大,经历的又多,肯定能很好地完成任务。

但是去年的「中国奥数输给美国」在网上疯传,队员们还能淡定的坐着吗?

全天下都在看着他们,已经没有人能站起来保护他们了,他们必须自己站起来保护他们自己!

可是他们毕竟还是一群孩子啊。 还是一群追逐自己梦想的少年啊。

他们做错了什么?不就是没考第一吗?这和中国运动员没拿到预期的名次就得出来解释一下有什么区别?!

不,或许比这更严重。运动员多少是国家体育总局花钱培养的,是拿纳税人的钱砸出来的,优秀的运动员甚至还能大把大把地赚代言费。可是数学竞赛呢?我可以很明确的说,最多只有国家队队员出国比赛的机票和食宿是报销的(食宿还是主办方提供),其它从培训到参加国内各种比赛的开销,那可都是家长自掏腰包啊!奖金倒不是没有,但哪能和体育竞赛比?

有的人该说了,你这影响力也不如体育竞赛啊。可是正因为如此,不是更不应该责难他们吗?

现在的国家队队员,应对 IMO 这样的比赛时确实有一些弱点(这一点我会在后面详述),但是考差了可不能怪他们。

我觉得,一个国家队队员,哪怕他 IMO 考得再差,只要他一没有在之前的选拔考试中作弊,二没有在 IMO 考场上消极怠工,三没有公开发表不当言论,他本人就不应该承受任何的指责和非议。大家都是人,人家不管有没有弱点,只是训练,考试,训练,考试,最后领队告诉你你进国家队了,再训练,考试……人家什么也没做错。如果说没选出最强的人,那么就是我们的选拔体系还有待完善;如果说选出了最强的人,但是状态没调整好,或者弱点没有补上,那么就是我们的国家队训练体制还可以进步。不管怎么说,这可不能怪 IMO 选手吧。

IMO 选手自然承受着很大压力,不过非 IMO 选手也差不多。近几年大家都有这个习惯,说谁谁谁应该能进国家队,结果人家冬令营考砸了,集训队考砸了,就说这人咋这么弱。

这叫什么?这就叫妄议。

其实很正常啊,即便是顶尖的高手,也有可能进不了国家队。冬令营还好,集训队到最后都是毫厘之争。一个高手没进国家队,可能只是因为吃坏了肚子,可能只是因为题目不对胃口,可能只是因为评分标准恰好对他不利,也可能只是因为一个阅卷失误。是考试就有随机性,为何偏偏要忽视它?退一万步说,就算人家是真的弱,那也是人家自己的事,关你啥事?难道你还能开个赌局赌谁进国家队不成?别忘了人家就算再弱也比你强!

说到这,应该很明白了吧。数竞选手承受了太多的舆论关注,舆论将关注转化成了压力。但另一方面,他们并没有从中得到任何的利益。

每个人都可以如同喷明星和运动员一样喷他们,可是他们却没有得到如同明星和运动员一样的利益。

说到底,还是政府不重视,有钱人不重视,只有一帮不明真相的围观群众重视,最后造成了数竞这种「又要马儿跑,又要马儿不吃草」的尴尬状态。想要政府和有钱人重视是不太现实的,更何况数竞本来就需要降降温。

所以解决的唯一途径就是,无关人士速速退散。

顶尖的高手,尤其是 IMO 选手确实不应该为他们的失利承担任何责任,毕竟这只是个游戏。但是,他们也确实在应对竞赛时有一些弱点。那么究竟是什么弱点呢?且听下回分解。( TBC )

11. 高手的弱点

相比以前的国家队员,近年的队员们确实在应对竞赛时有一些弱点。前面已经提过的诸如高估自己,做新题能力差等等就不再说了,影响也不是特别大。

我在这里主要想谈一下我所看到的两个足以影响最终成绩的弱点。

在谈弱点之前,先以个人角度分析 2015 年与 2016 年 IMO 中国队的输赢之处,如有主观臆断请指出。

先来看 2015 年。

平心而论,第一天的题对中国是有些不利,中国队也没有发挥到最好,但是造成这个情况的原因并不仅仅是几何。第一题组合几何与第二题数论,从数据上中国队没吃亏,甚至还有点小便宜,但是至少有 2 位同学因为花费大量时间做这两个题而失去了做第三题几何的宝贵时间,但因为几何题的数据太可怕了,一下子亏了接近 20 分,所以一下子认为几何是输掉的重点也很正常。但是实际上几何题应该也就是亏 12 分(接近 2 个人)的节奏,因为每天有 3 道题,还是要综合考虑。即便第一天考成这样,有第二天的第六题这样一个大礼包,中国队也未尝没有翻盘的可能。中国学生的数感是很好的,前面也说过,需要用代数估计和放缩的题目(即便是数论或组合),中国队都会很占便宜。尽管第六题是组合题,但是需要用代数去估计,中国队就考得很好,全场也就十几个基本做出的,中国占了四个,第六题总分全场第一。与此同时,可以看到第五题函数方程是中国的弱项,这个题 30 人全对中国竟然只占两个,而且剩余四人的分数都很低。中国队最终还是输在了第五题上。倒不是说第五题应该更多的人做出来,毕竟没做完的四位同学中有两位第六题是满分,估计花费了一些时间,但是明显应该能多写一点,争取更多的分数。比较中国和美国第五题的小分就可以看出来,最后的最后还是输在小分上(第一天的题做不出来就是做不出来,无话可说)。

厉兵秣马,来年再战,中国队加强了对几何的训练,选拔也更偏重几何。考试题一出来,没有纯几何作 3, 6 ,可能有些筒子就会觉得 IMO 在针对中国人,其实不然。首先, TST 考什么和能选出哪个领域偏强的选手没有完全必然的联系,大家并没有太多互相针对的,中国的 TST 题目毕竟还是中国人自己放到公共网站上的,这样说未免阴谋论了;其次,今年 IMO 还有第五题这样帮助中国队的好题,这样的一个代数正是中国队的强项;第三, IMO 本来就是让人猜不出,完全定死了规矩那就没意思了;第四,其实第三题是几何题而不是数论题,中国队没有把握好而已。

来看一下具体情况,中国队不仅在第五题上是满分,并且由于花费时间少,顺带着第六题也做的很好,即便是三个满分的韩国队在这两题上也被中国队赚了不少。关于美国队,那真是运气太好,可以看到美国第二天三个满分都是中国小孩,这也是无可奈何的事情,即便如此,第二天中国队还是赢美国队 4 分。第一天的第二题应该是中国此次没拿到好名次的关键,有两位同学没做出,相比几乎全对的美韩,这个失误足以葬送领先优势。但是也要通盘考虑,据说有一位同学是在第一题上花了过多时间而没有足够的时间做第二题。看看第一题和第二题,当然不是某些人所臆想的初中题难度(再次强调,答案只是告诉你这个题怎么样可以做出来,不代表难度,需要仔细读答案才能发现里面的困难之处),但也没有很难。第一题想到复数绝对可以一小时以内做出来,这笔买卖很划得来;第二题只要把 6 乘 6 的棋盘为什么没办法排分析清楚很容易猜到证明的方式,它放在冬令营和集训队也只能算一个一般甚至偏容易的题目。

所以个人认为, 2015 年第三题是大坑了中国队,第六题又是大帮了中国队; 2016 年第二题是小坑了中国队,第五题又是小帮了中国队。两年的题目看下来,对中国队都是公平的。另外虽然韩国今年的三个满分有点猛,但是美国两年的发挥算不上极佳,最多只能算是略微偏好。事实上中国队发挥也都是一般,即便发挥的不尽如人意,也说明中国队像前些年那样巨大的领先优势是肯定没有了。

下面来说说我眼中中国队的弱点。

第一个弱点,就是四个领域不均衡。

当然,每个选手都有强项和弱项,但是当一个领域弱到会大幅度影响拿全 1/2/4/5 的概率的时候,即基本上做不下来这个领域 2/5 难度的题目的时候,事情就不好办了。

早在第二节中就提过,基本拿全 1/2/4/5 是很重要的,尤其是第五、第六名。如果国家队中相对较差的几个人不能保证拿四个题,对整体的分数影响会很大。去年和今年的 1/2/4/5 ,中国队做得都差强人意,而且最终都是输在 2/5 上,本来用来赚分的 2/5 现在却输分了,不得不引起重视。

第二个弱点,就是不会应对不利的形势。

其实这个情况我在 2009 年就发现了,有不止一个冬令营满分在集训队第三次考试上栽跟头,几乎一分未得,后面状态越来越差,都无缘国家队。在之后的几年里,越来越多的学生在考试中有「一脚深一脚浅」的问题。有的同学大赛考得好,却在集训队里出现大失误,尴尬到靠评分标准才幸运地没出局;有的同学参加两次大赛,一次考得很好一次却十分差强人意;有的同学集训队题难的时候考满分,题容易的时候却几乎零分。

相比十年之前,现在的选手这种「逆境求生」的本事基本都荒废了。一旦遇到第一个题不顺手,很容易出现重大失误。考场即是战场,做不出 3 个题也要争取做 2 个,做不到 2 个也要争取做 1 个半,这样的信念和决心,还有应对的能力,正在慢慢从选手身上消失。从统计数据上无法看出全部,也许有的同学一直都很顺,但也拥有这样的问题。

选手们有这样的弱点,原因是什么?且听下回分解。

12. 不同的目标

现在的选手和以前的选手比,确实有一些弱点,产生这些弱点的第一个关键因素,就是赛制,尤其是集训队的赛制。

我们考集训队的时候,是 8 次小考 2 次大考,大考分数乘以四。所以在小考阶段,完全不需要发挥得太好(我高三的时候小考好像也就是正式队员的第三或第四),但是不能落下太多。小考有的时候题很难,甚至有时会有一两个讲解答都要讲一小时左右的题,所以要求抗压能力特别强,大家都不求有功但求无过。题容易的时候三个全做不是本事,题难的时候做一个半或两个可就厉害了。而且,小考时大家都在边考边调整状态,以便大考的时候能够爆发,毕竟大考是乘以四的。2002 年就有一位队友,在小考考得十分不理想的情况下,大考比大部分人多做了一道题,成功翻到了前六(名字就不说了,在场的都知道)。考试次数多,才更要求心理素质好,能够逆境求生。

集训队的 10 次考试,完全可以考出一个选手的所有优点和缺点。像我在 2002 年时就是几何的技巧部分做得稀烂(换句话说就是基本只会硬算),于是被要求练习几何题,到上 IMO 考场上的时候几何已经不那么烂了。

现在的集训队可不行,只有 6 次考试,而且大考的比重严重不足,前面很容易拉开差距(在 24 道题里差出 4 道题,可比在 12 道题里差出 2 道题难多了,后者可能就是一次失误的差距)导致后面无法翻盘。并且,只有 18 道题,各人的优缺点也没有特别明显地体现出来。

另外,联赛进冬令营和冬令营进集训队的扩军也是一个问题。扩军确实能保证基本保证最好的选手能进到集训队了,但是 60 人的集训队必然有大量 60 名左右水平,甚至是 100 名左右水平的选手,加上考试次数少,确实更容易出现大反转的情况。毕竟贝叶斯公式摆在那里,没选出最强的 6 个人,这也是很正常的事情。

集训队的赛制缩减,和主办方不堪重负有一定关系,和命题者的缺少也有一定关系,但我认为最大的原因还是教练组并不像十年前或二十年前那样极度渴求一个团体第一了。如同很多中国体育的优势项目一样,从无到有的时候很激动,第二次第三次蝉联的时候很有荣誉感,可是拿多了第一也没意思,总是成为别人眼中的目标也是心好累的(再说 IMO 拿了第一教练组也木有奖金)。中国的数学竞赛已经度过了艰难的开荒年代,已经有了一个相对稳定的平台。相比之下,教练组更愿意看到手下的学生们在未来有好的发展,也不愿意再多多折腾这些已经训练了 N 年的学生,可能在要求刻意练习的时候手也松了一些吧。

另一个关键因素,就是学生自身的目标和定位。

教练组不愿意加强训练强度,有的高手也不想要。第一是现在的高手们也更注重未来的发展,提前自修大学课程的不在少数。另外,现在高手普遍都是很早就进入刻意练习阶段(甚至有很多初中就停课做竞赛的),练了几年估计到最后也练烦了,大家进了集训队进了国家队之后玩上 N 久也是常态,前几年甚至还出现了一届国家队里一多半到大学不想学数学专业的情况。

其实现在的高手条件要比以前好,机会也比以前多,他们也能更加综合地去考虑和做出选择,他们应该是更加幸运的。能够在注重当下的同时也放眼未来,这是一件好事。

中国的高中数学竞赛变成这样,我不敢妄言是前进了还是后退了。但是数学竞赛本来就是培养和选拔对数学有天赋及兴趣的学生,并给他们尽量光明的未来。从这一点来讲,尽管现在联赛级别大家的压力都很大,但是从顶端来看做得还不错,至少不考虑舆论的话还是在进步的。

IMO 只是一个游戏,不要把它太当真。梦碎梦圆,这都不是终点,区区游戏,何分第一第三。

当然,目前我们的高中竞赛还是有几个问题需要解决的。

第一个问题,就是如何避免高手因为要冲出来而过早做太多的重复性训练导致的一系列问题(后继无力或者进入大学之后不喜欢数学,或者因为学习数学竞赛而过早丢失学习其它学科的机会和时间等等)。

第二个问题,则是如何缓解舆论给予高手们的压力。

第三个问题,就是如何在最后的选拔中选出真正执着于参加比赛,水平也高的学生去参加比赛,并保持不错的成绩。

这三个大坑一般的问题很难给出很好的解决方案,我也只能做到抛砖引玉,且听下回分解。

13. 急需的科普

我想到的第一个解决方案就是科普。

原因很简单,很多人不知道奥数是什么。中国十几亿人,真正知道奥数是什么的,恐怕只能以百万计,甚至可能还到不了百万。因为不了解,所以攻击,因为不了解,所以诋毁。人之常情。

我举一个例子。2013 年我看到一个段子,说一个不识字的土豪解鸡兔同笼问题,先让鸡抬起一只脚,兔抬起两只脚(这时候脚的数量减半),然后再让每只动物抬起一只脚(这时脚的数量减少了等同于头的数量的值),这个时候鸡已经一屁股坐地上,兔子是单脚独立,很容易算出兔子的数量,然后再解出鸡的数量。段子的最后说,这让数学老师和奥数老师情何以堪啊。

看了这个段子,感觉怎么样?奥数老师是不是特 S13 ?这可是连不识字土豪都会的做法。

真相是什么呢?

我 1992 年在华罗庚数学学校学奥数的时候,老师就是这么教的。

另外拜托仔细想想,不识字土豪真会这个?

对了,这个段子就是来黑奥数的。

但是可惜的是,我看了这个段子三四次,仅有一次有一个人的回复说鸡兔同笼就是这么学的。 另外,跑男第二季第二集包贝尔也用了同样的方法,弹幕里也无任何人提到此事。

这个方法的道理是什么呢?不难看出,这就是解二元一次方程组的做法,只不过不用设未知数。 奥数是很有道理的,永远是低段工具解高段问题。

当然,如果你的奥数老师讲鸡兔同笼上来就列方程组,请让你的家长抽他两嘴巴子,然后申请退钱,因为这是一个不讲思维只念答案的庸师。

其实我觉得奥数真的缺很多科普的书,我们的出版社应该多重印一些好的科普书。我读小学初中的时候手头有好几本科普的小品文,多到我自己都从书里建立好了一套初等数学的体系。但是现在学竞赛的学生,哪还有什么科普书啊。

不仅是奥数需要科普,数学本身也需要科普。前段时间看到一个所谓「小学奥数五星题」,如下。

五星小学奥数题

这个题怎么做呢?其实不要纠结于只用小学内容,你完全可以先算出面积再说。

不难看出,中间的阴影部分和右下角的阴影部分都是好算的,难点在于右上那一块。

建个坐标系好了,左下角是原点,联立直线和圆的方程不难算出对角线和右边圆的靠右上的交点坐标为(18, 9)。然后连圆心,算扇形面积,发现面积里有个反三角函数。

这个时候基本就可以肯定了,这个题肯定不是小学题,小学题再怎么样,答案里绝对不会有反三角函数!

这个题原题啥样?看出来也很容易,其实就是多了左下角一块小的黑色,这样用对称就得到阴影面积等于矩形面积减去两个圆面积之后剩余部分的一半。

结果呢?这个有技巧的好题被刻意地改动,完了之后又成了黑奥数的东西。

其实,只要掌握了高中知识,很容易识破这样的伎俩。

其它的很多问题也是类似的,其实掌握好高中数学知识和高等数学知识的人,绝对不会上当。相反,很多初中小学的奥数教师,如果高等数学没学好或者没学过,是很容易被一骗一个准的。

所以,我这里还是建议所有奥数教师都先学好高等数学再来教奥数,也避免总是问一些秀智商下限的问题。

除了知识,一些理论也是必须要科普的。初等数学中有很多解决不了的问题。这个事中国有多少人知道?可能百分之五都不到。

换一个具体一点的吧。五次或者五次以上的方程是没有通解的。 这个事估计知道的多一点,但应该也不会超过百分之十。

所以咯,奥数黑完全可以随手抛出若干五次六次方程,说奥数就考这个。 不科普,永远不能洗白,你解释了一个还有另一个。

还有,不定方程也是。别忘了费马大定理就是初等不定方程,孪生素数猜想也可以算进去。一个不定方程不能解太正常了。例如, n 允许含有素因子 2, 3, 5 , n-1 允许含有素因子 7, 11, 13 ,求 n。这是个骗人的题,即便能做也是狂讨论,没有任何实际意义,但是一个在中小学没有接触过奥数的数学系本科生比一个大学没学过数学的初中小学奥数教师更容易发现事情的真相。

不止圈外要科普,圈内也要科普。有关难题的问题就是一例。 应该有很多人认为出难题就很厉害,也有很多奥数教师以难倒别人为自豪,然后吹嘘。 但是实际上,出难题不是难事。

我自己出过 6 个超级难题,个个堪比 ELMO Shortlist 压轴题,如果哪个高中生能做上其中的一半,绝对是国家队水平之上。而且,每个题我绝对可以在 30 分钟内解释清楚。

可是我基本不公开拿出来,也从不拿来炫耀,因为没有必要。只有当国家队级别的选手做所有题都秒杀,然后又向我要新题的时候,我才会拿出来一个两个让他们去自虐去。

顺带一说, 2009 年选拔的时候我拿出来过一个,被其他几个老师否了,因为他们判断那个题只能考考韦教主,其他人肯定全跪,没有任何选拔意义。老师们的原话是,我们又不是选一个人,我们是选六个人。

题不是出难了才有意义,而是难度恰到好处才有意义。从训练的角度来看,是让学生能够得着,开发思维才有意义;从选拔的角度看,要能区分学生,选出好学生来才有意义。

另一个例子是 2015 年的女子赛第四题,这个题其实是一个广泛问题的简单情况,详述这个问题背景的文章发表在中等数学 2016 年第一期。个人觉得原题放到国家队选拔,都不会有什么人做出来。即便是那篇文章,能看懂的估计也寥寥无几。

只有给大众科普了什么是数学,什么是奥数,才不会有那么多的奥数黑存活的空间,奥数选手的压力才会减轻一些。另一方面,弄清奥数是什么之后,会有很多水平不足的学生和家长退出,间接地给真正的高手更多的位置。

科普是必须的,然而还有什么好方法呢?且听下回分解。

14. 体育的启示

这一段是我在去年 8 月就构思过的东西了。其实纵观中国各大体育项目,谁的成绩好,谁的成绩不好,很容易得出一些东西的。

回到第五节的观点。

「在竞技比赛或者任何事情上,一个人或一群人能做出傲人的成绩(排除天分),要么就是他们需要用成绩来改变自己的命运,要么就是他们有着极强的荣誉感和使命感。」

看看奥运会,其实中国队能露脸的队员基本都有同时兼备这两点。早前的中国队员拿了金牌都是哭,后来有人说哭太假,逐渐也有很多人不哭了。其实说哭太假的人真的该拉出来游个街什么的,人家运动员辛辛苦苦几年十几年,就把在奥运会上奏起国歌当梦想,梦想成真了还不让人哭?

中国的很多项目的队伍,队员被给予的经济条件都不好,但队伍的荣誉感却是满点,这样的队伍很容易出成绩。

去年 8 月的世锦赛,苏炳添成为首个站上世锦赛男子 100 米决赛跑道的中国人,并在数天后与队友莫有雪,谢震业和张培萌合作,第三个冲过男子 4*100 米决赛终点,然后由于美国队犯规而幸运的把铜牌升级成了银牌。这件事和前后发生的一些议论还是让我感受良多。

首先是运动员的知名度。说实话比赛之前我只知道苏炳添和张培萌,毕竟还是 10 秒俱乐部的人,谢震业好像听过一次,莫有雪赛前听都没听过。当然这也和我不是体育迷有关。

然后是经济条件。几个人在成为名将之前从体育圈拿到的都差不多,我后面看了一个跟踪报道,莫有雪出名前在省体训队一个月就挣两千多,世少赛冠军也没什么大笔奖金。

其实我觉得这样也挺好的,给好的训练条件,但不要赢了比赛就拿钱砸。这样运动员到了很高水平之后才会和金钱打上交道。一辈子不让打交道是不对的,太欺负人了,但是还没到世界级或者准世界级水平就开始接触大量金钱,那很可能水平就停到那了。

有些项目,省级市级的选手就能挣很多钱,这不仅成为了阻碍选手进一步训练的阻力,也使很多只想挣钱的人进入到这个圈子,这种项目是铁定出不了成绩的。

另外一个事儿,就是四个人拿了银牌之后我看到的评论。

评论里面北京人和广东人可就吵起来了,一个说苏炳添最牛 13 张培萌是渣,一个说张培萌超越 N 个队伍拿到亚军前面都是拖后腿的,最后上升为地域黑。作为一个长期在广东的北京人,我感觉这些人真是吃饱了撑的,人家苏炳添和张培萌好好的把棒接了,你们在这打起来了。个人认为苏炳添么为人低调踏实,喜欢的人更多一些,张培萌稍微高调一些,但也没说错话,大家都是功臣。但是这种喷子总是存在的,且存在于每个项目。

还有一个事儿也是从体育圈这么多年看出来的。中国民众特别非常极其重视竞技的成绩和名次。

这个很明显,拿了金牌特别高兴,丢了到手的金牌大家骂的跟卖国似的。

我想过两年,或者没准今年,就有人会指着谁谁谁说你考砸了害中国 IMO 队没拿到团体第一什么的。

所以我觉得,从体育上的启示,我们至少可以做三点。

第一,就是不要上来就给学生太好的回报。不过这个感觉挺难的,小学初中的竞赛还是那么火热,机构和学校都是拿钱招好学生……至少高中这块应该好一些,比如初三高一拿省一的孩子完全可以等等再签约嘛,或者签个省队一本什么的,一下子签了一本人家玩儿去了。

第二,还是要增强学生的荣誉感。爱国教育什么的不要嫌弄的太早。这样学生至少进国家队后还有一个努力的方向。我们说 IMO 是一个游戏,还是置身事外说的,学生要是真出工不出力那就惨了。

第三,也是我感觉比较重要的一点,就是要减少关注者的数量。

越多人关注,越多人骂,学生就会越不淡定,这是自然的。另外,关注的人太多,就会自然而然地衍生出资本市场,这对我们维持这个游戏的天然性和公平性是十分不利的。

其实我很希望,我们最后的国家队,甚至是冬令营集训队,只有数学竞赛的参与者们和希望数学竞赛良性发展的人们关注,高手有他们的荣誉,但不需要太多其他的人来肆意评论。

当然,除此之外,在参与者的受众上我们也需要有一些变化,且听下回分解。

15. 更广的受众

数学竞赛在产业化之后,难免遇到一个很严峻的问题,那就是受众。

竞赛培训是要花钱的,又要花时间的,大多数人花钱花时间只是为了让孩子上一个好大学。

什么人会这样做呢?中产阶级。太穷的人付不起学费,而顶端的人或者有自信做好子女的教育,或者可以把孩子扔出国,或者说不太 care 孩子上什么牌子的大学。

但是,只以中产阶级为主力的事情,必然存在不少问题。这里引用水木上 ID : NightElf 的一段话:

穷人家的孩子上不了,在道义上就站不住。官商子弟上不了,在很多方面就得不到支持。

这段话虽然是说另一个东西的,但是我觉得对数学竞赛也是一样。数学竞赛接受批驳的另一个原因,自然是衍生的相关产业——培训,只能带动中产的消费,这是非常不好的一件事。

如同上面所说,我们不能只让中产在这个圈子里玩,需要让两头的人都参与进来。

当然,穷人那一边是我早就想过的,另一边是看了上面的话才有感悟。

数学竞赛要想重获好名声,必须重新接纳穷人家的孩子,为他们想想办法。(我说的是能出一定成绩的穷人家孩子,超神那种早就被盯上了各种喂养,不需要考虑)

毕竟,现在高考改革之后,更加注重能力化,穷人家的孩子并不是不能出头,但是更难出头了。如果这个时候能够让穷人家的孩子在竞赛上获得公平,那竞赛的名声自然会好起来。

前面已经说过,很多没到很高水平的孩子重复训练,但获得好大学门票的几率微乎其微,同时又阻碍了他人。去除这一部分人当然是很重要的。但是,更多的孩子是穷人家来的,他们可能连上大课的学费就交不起。更何况现在的制度下,各个培训机构的竞赛课一个赛一个的贵,让人哭笑不得。

当然,贵也是有道理的,道理还是家长们的「不选对的只选贵的。」

放着一天三四百的好老师的大课不上,去上一天一千多的庸师的大课,逼着人家良心价涨成黑心价。

一对一也是。曾听说有个家长,朋友的朋友是国家教练组的大师,人家看朋友面子给他就要点辛苦费,结果发现没有隔壁骗人机构的一对一贵,果断学了一天就走了。

再这么下去,穷人家的孩子恐怕连一些基本的想法都难以学到了。更可怜的是,穷人家的孩子还很难指望学校。我读书那会儿,学校请老师讲课我们不掏钱,但是考试得奖了也不拿钱,其实挺好的。搁现在,估计没法这么玩儿了。

所以我觉得我们需要一些公益的讲座,和一些针对贫困竞赛生的特殊计划。很多明星都做过慈善,人家一捐一座教学楼,几百万起步。我们可没那么多钱。 但是我们可以做公益讲座啊。人家是捐教育资源,我们自己就是教育资源,捐自己就行了。

我很希望未来我们的优秀竞赛教师能够多做一些这样的事情。但是要满足三个条件。第一,自己先解决生活问题;第二,讲公益务必更加尽心;第三,也是最重要的一点,必须在大环境合适的时候再做。(大环境会在后面讲到)

关于针对贫困竞赛生的特殊计划,交给学校好了,相信学校会做的很好的。

数学竞赛要想获得各个方面的支持,就必须让「上流社会」也参与其中。

顺带说一句,其实中国 1990 年能办起 IMO 也与这个原因有关,细节略过。

数学竞赛适合 5%的孩子学习,官商子弟中适合学习数学竞赛的比例可能要比这个更多。虽然有些人并不是特别执着于参加竞赛或者帮助升学,但是别忘了数学竞赛还有开发智力的功效,这一点做好了依然能起到很大的影响力。

但是能够纯粹开发智力和培养兴趣的教师难找。不客气地说,现在中国市面上的数学竞赛教师,称职的比例已经很低了,而能脱离应试只开发思维的教师更是凤毛麟角。如果官商子弟碰不上这样的教师,那学了半天觉得没什么用,回头说奥数不好,那也属正常。

所以事实上我们也需要一些这样的教师,真正为纯思维服务的教师。

由上面可见,数学竞赛缺少一些愿意做公益的老师,和一些愿意纯开发智力的老师。但可惜的是,在这样的大环境下,这两类老师既是稀缺资源,又不愿意做这些事情。只有大环境好一些,才能引得部分人愿意去这样做。

16. 更清的环境

现在的大环境并不是很好,竞赛的培训队伍良莠不齐。

刚刚考完了一个不是奥委会主办的高中竞赛。考试一结束,套用赵忠祥老师的说话模板就是:「竞赛结束了,网络上又到了培训机构和民间教师抢学生的时节。」

所谓「抢学生」,不是抢着让学生去报名,而是向大家公布哪个获奖学生是自己的学生。

其实这种东西最开始都是学校自己公布自己有几个学生获奖,一般是放到自己家网页上。后来有了培训机构之后,大家为了抢生源争相报道这也无可厚非,但是随着培训业竞争的激烈,大家对于学生的底线越来越模糊的时候,事情就不好玩儿了。

最开始吧,大家都是说长期跟着的叫学生,后来呢变成上过一期课就叫学生(能坚持这个原则的已经不错了),再到后来发展成听过一次课,或者跟老师聊过天,甚至不小心做过老师出的一道题的,都叫学生,这个就过分了。

哎呀,按这个说法,就凭区区在下,怎么说也是带过队的,出过不少题的,那不是带出了三四十国家队员,两三百集训队员?就算只按正经讲课算,我好歹还是在集训队国家队讲过课的,算下来手下也教过十几个国家队员,一百多集训队员。

天啊,真的吗?太神奇了!

另外我觉得呢,宣传学生本身没错,但是能不能在考试之前就告诉大家哪些参赛选手是你带出来的?事实上,宣传自己的人大都是事后诸葛亮。按这种模糊的定义,一次冬令营我「教」上一百多学生,怎么着也得有十几个进国集的,完全可以很轻松的宣传(这里呢说一下,如果机构真的只招到了特别牛的学生,结果比如 20 个学生考冬令营 10 个学生进集训队,那还是可以认为是机构的本事,最少还有 10 个集训队水平的人愿意去呢)。更要命的是,考试之后只说出了成绩的,没说没出成绩的,这在误导大众的同时还会让没出成绩的学生觉得自己被抛弃了,对他们又是一次打击。

各个机构和老师大力宣传还会给公众另一个误解。由于好学生总是会被更多家「抢」,所以粗看起来好学生似乎是去了很多机构学习。事实上呢?可能只是宣传的原因,即便有真正聪明的孩子和家长是去了很多家的,那也更可能是先遇到不靠谱的机构和老师,最多学一期就退出(有可能还学不到一期),直到遇到靠谱的老师,稳定一个或几个地方为止。看起来学了很多地方,但和你去乱学还是不可比拟。

这么多宣传的,事实是什么呢?

真正厉害的机构,只需要实实在在记下有哪些学生在自己这里学了几期课;真正厉害的老师,甚至不需要自己给自己打广告。真正厉害的机构,招生都是限制人数甚至限制报名水平;真正厉害的老师,平时哪会有时间干这干那。 当然啦,宣传么也得有人信,至于谁会信呢我就不说了,大家看了这么多都该知道了。

至于谁是好老师,谁是好机构啊?你问高中生,人家跟你有竞争关系,或者迫于一些压力可能不会说实话,你不会不问高中生?

教师队伍良莠不齐,未来当然是要想办法。对于那些水平不够的老师,该怎么办呢?

水平不够的老师分成两种,一种是还想继续加强自己的,一种是不想继续加强自己只想骗钱的。

对于第一种,其实都还好,我们需要做一些竞赛教练的培训(这点已经做得挺好的了,还有命题研讨会什么的,大家多交流是好事),让他们也融入这个高起点的圈子,继续修习。同时,已经合格的教师也能继续提高,彼此互勉。 对于第二种啊,没什么好说的,只有寄希望于消费者的自然选择能把他们淘汰掉。如果真淘汰不掉那可没办法,即便到最后劣币驱逐良币那也只能赖消费者了。

只有市面上的教师大都是靠谱教师的时候,才能分出一部分人完成上一节所说的工作,数竞从培训上才会更加规范,环境才会更清澈,才会向着更有利于选拔和培养人才的方向发展。

培训是一方面,当然也有让比赛的进程更加完善的理想。

17. 更明的进程

高中的数学竞赛兼有普及,选拔中高端和选拔顶端的功效,为此进程上也可以考虑更加透明一些。

其实完全凭兴趣搞的时候,大家很少纠结成绩,像我高一的时候联赛差一名没进冬令营,也觉得很正常嘛,也不会说要去追求查卷什么的,另外冬令营大家分高分低都是认的(当然现在涉及到保送不保送,降分不降分,也难免),集训队也差不多。现在么利益那么大,学生不急家长急,这也是没有办法的事情,所以现在还是需要有更高的公信度。而透明,则是公信度的一大保证。

说到进程透明,我首先要说的就是考试规则。其实在这个网络时代,我原以为考试规则这个事大家都非常清楚,但是还是有一些不清楚规则的考生。像不知道联赛二试每个题多少分,或者一试考多少分钟这都能发生。冬令营开始的一些规则就有更多人不知道了,例如有且仅有前 30 分钟可以对题目本身提问,主试委员会会给予解答,以及如何查分与申诉的问题。我觉得这些问题都挺好解决的,一个是在网站上公布,另一个在冬令营等比赛的秩序册(参赛须知)上面可以专门用一页来列考试规则,这样也给那些不常上网的同学一个提醒。

下面就是阅卷规则,其实这也是被很多学生与家长所诟病的事情。因为试卷肯定是无法完全公开的,所以很多学生会说自己被黑了什么的。但是我这里要说的是,联赛我不能保证,冬令营这里大家都是想要给学生一个公平,从最开始的改一遍查一遍,然后除了非常清楚的零分和满分之外所有卷子需要再找一个人复查一遍,之后再查,有少数很难判定的卷子都是看上六七遍的。去年冬令营出现了集体惨剧,很多人的预期分数和实际分数能差出两道甚至三道题,也会有很多人质疑,但是前面也说过,冬令营阅卷是严格的,很多混分的都会得不到分。我这里有个想法,如果某位同学真的觉得自己比窦娥还冤,那么他完全可以实名把自己的解答重写一份放到网上,接受大家的检验,而不是空口无凭地说自己被黑了。集训队么有几年没参加只是零零星星供题,不再多说。

联赛确实问题也很大,当然我前面也说了,试卷太多而阅卷人员和时间不足是一个大问题。我个人有一个不成熟的提议,联赛的预赛只考大量的选择填空,然后如同 AMC 一样有底线分和比例(前几天得知 AMC 马上就没有底线分只有比例了)。以 AIME10-11 分水平对应的水平来选人,应该能卡到更少的决赛人数(但是这个说不准,如果真这么搞会不会又有一波准备预赛的培训班),并且没有阅卷负担。决赛还是大题小题结合也好,或者只考大题也好,都应该能减轻一些阅卷压力。

然后就是选拔的机制,其实我们不应该太神化国家队队员(哎呀这个话好像我说还好,换个人说会不会被认为是酸葡萄心理?),毕竟有些人喜欢在这上面多付出,有些人则喜欢干些别的,例如提前系统学习大学课程。前几天和一位同学聊到某一年的成绩,再次说到书写标准和会打逆风球的事情。事实上书写标准和会打逆风球,在水平接近的时候是能够大幅度增加进入国家队的概率的,并且去考 IMO 的话成绩的期望值也会高一些,但是这两个东西在科研里确实没什么用。所以说,即便是最好的赛制和选题,也只能保证选出的是最适合参赛的六个人,而不是最强的或者说数学上最好的六个人。到了集训队之后,学生们完全可以分成「我强,我稳,我就是玩命要考进国家队」和「我强,但我不稳,我就是想随便考考,进就进不进也没关系」以及「我就是打酱油的,我想先学大学课程」三派。进了国家队的,就得有牺牲精神,从集训队结束到出国比赛就别闲着了,继续刻意训练去;没进国家队的,接受现实,早四个月学习大学课程也挺好。当然,只有老师,家长和学生对国家队不再看得那么高了,这个理想才能真正实现。

最后说说本人对于选拔国家队的细节的一个点子。集训队的成绩是不公布的,可能一些随机的问题例如阅卷偏差会导致某些高手进不了国家队,这种问题还是偶尔会发生的。真的想改变这个情况,最少让学生自己服气,比较好的思路是让学生自己来为自己协调分数。现在美国最后的准国家队里的练习,便是学生自己来给老师解释,这也是模拟 IMO 的协调。某位学长说过,他非常希望我们能够有朝一日也是这样。但是对于 60 个人的集训队,这无疑是一个无法承受的负担,粗略估计最少需要 20 个以上的教练才能完成,即便有这么多教练,彼此缺乏交流和判罚尺度不统一将再次产生不公平。我的点子是,集训队前面的考试可以选出 10-12 个人成为「准国家队」并公布名次,其余人打道回府,这 10-12 个人继续换个地方调整状态和考试,后面的考试便可以让学生为自己协调。这样,不仅从考试次数上有了保障(直接增加考试次数会让主办方不堪重负),而且也更加公开公平公正(协调的时候必然互相能看到成绩,但是之前考过的卷子不能查看和改动了,算总分),同时减少了教练的付出( 10-12 个学生有 6 个教练负责协调绰绰有余),还能真正选出希望国家争得荣誉的学生(不然随便考考进了国家队的人可没有后悔药吃,这么做他后面可以弃权也不丢脸),并且减少了关注度( 60 个人里挑 6 个显然比 10-12 个人里挑 6 个更惹人关注,并且可以换个没有网络的地方啥的),唯一增加的负担就是题目的数量。

啰啰嗦嗦说了三万多字,其实只是想让大家更加了解我们的数学竞赛,更加理性地选择是否参加,如何参加。数学竞赛的本意是选拔和培养对数学有天赋有兴趣的学生,并给他们创造更佳的环境。我想,等到我们的国家队仅仅是一个与金钱无关,与未来关系也不大的荣誉,但同时 IMO 成绩还能稳居世界前列,甚至回到霸主的地位的时候,等到我们的国家队队员,集训队成员,冬令营营员们能够在未来在数学和其它自然科学上大放异彩的时候,我们才会觉得这些年的辛苦没有白费。

正文到这里就结束了。另外有一些前面没有讲完或者没有合适位置插入的科普,会做成两篇番外篇,接着正文写出。这些争取在 6 号之前结束,不耽误大家看里约大冒险。

18. 番外篇

18.1. 尴尬的难题

从今年 IMO 的题目统计数据来看,第三题只有 15 个人基本做对(至少 5 分),因此第三题是一道难题,果真如此吗?其实不然。

仔细分析一下题目,真的除了吓人之外难度并不是很大,并不属于那种死难死难的题。

这个题几何方面,托勒密定理,海伦公式和 S=abc/4R 知道两个基本就能下来;数论方面则只要知道化成素数幂和「一颗老鼠屎坏一锅汤」的结论(即若干个数中恰有一个数所含素因子 p 的幂次最低,则这些数的和所含素因子 p 的幂次等于这个最低的幂次)肯定能做。

看看几年前的题要到什么难度才能得出这样的数据吧: 04 年的第三题组合,大坑题,至少没有那么显然; 08 年的第六题几何,一个呵呵哒的题,画图画半天; 12 年的第三题组合,骗人游戏,慢慢折腾吧; 13 年的第六题组合数论,即便猜出要用归纳也不是那么容易的。当然,同时也要重视前面题目的阻击性,可是看起来今年前两题并没有那么狠。

再看看 15 个基本做对的人有 10 个集中在前三强的国家,其实能猜到大概为什么了。

没错,稍微弱一点的队伍,学生做第三第六题的欲望和动机在慢慢变小。

前面我也说过 IMO 投题的过程,大家都喜欢选难题做 36 ,长此以往,那些并不是很强( 5-20 名)的队伍就会想办法应对,应对的办法也很简单,只做 1245 ,确认无误再稍微做做 36。

别小看 1245 ,近年来,全部人只做好 1245 在所有年份都可以拿到前十,部分年份可以拿到前五甚至前三。对于队员个体?多少 29, 28 的金牌线,金牌根本毫无压力。

有的领队吐槽:「我们的学生已经不想做 36 了。」

所以,今年的 3 不是个难题,仅仅是大多数人不想做而已。

所以,在 IMO 上的 36 需要适当降降难度,多让大家参与。

IMO 如此,国内也如此。

女子西部每天 3 个题可以拿到奖励,冬令营每天 2 个题可以进集训队,集训队每天 2 个题到大考爆发就能进国家队。

长此以往,大家都不会去做难题了。包括训练的时候,应该做 3 个题的时间只用来做前 2 个,全在舒适区,一点刻意训练都没有。

所以我们也需要一届分数线是 105 分左右的女子西部或者冬令营,让大家重新重视难题。

同学们在训练的时候也经常会遇到这个情况,做完容易题,时间到了,于是难题就不做了。其实这样很不好,好的方式是考试结束之后花时间继续想难题(或者吃个饭睡个觉之后继续),而不是白白浪费一道难题的训练机会。

毕竟,到达一定水平之后,做难题才是提升你能力的最快途径。

18.2. 骗人的答案

题目答案是什么?题目答案不是思路,题目答案不是解释,题目答案只是「我告诉你这么做能做对这道题」。

这也就是我为什么说,背答案是庸师的表现。

有的老师和同学喜欢用答案的长短来判断题目的难度,这在大部分场合都是有效的,但也有很多反例。我这里举两个例子,先来看下面这道题。

解答长但其实简单的题目

这道题的解答特别长,看起来似乎是一道难题。但实际上呢?解答后面的所有部分都是在证①,由于出现了大量讨论,显得解答很长,但是讨论的技术含量远低于前面下结论的部分。

再来看一道题。

言简意赅的难题

这道题的解答非常言简意赅,只有区区几行字,似乎是一道容易题。但是实际练习中,不会做这道题的同学远远多于不会做上一道题的。

其实来仔细分析一下就明白了。第一道题在尝试的时候很容易发现「偶奇奇偶奇奇」是一个永远无法移动到全 0 的状态,于是立即得到所有不小于 4 的偶数都不可以,然后只需要在操作中躲开这个状态(当然还有全偶数的状态,无法控制),剩下的就是一步一步递归就行了,反正最大数是只会减少不会增加的,怎么弄都行。

相反地,第二道题,归纳并不是一个很显然的点子,因为多一个数的时候事情会变得特别复杂。或许能想到最大的数比所有其它数之和都大的时候可以归纳,但是其余情况会很乱。另外 k 的选取也特别有讲究,直接一步到位。在实际练习中,很多学生都尝试使用其它做法,然后说理很难说清楚,总有重复和遗漏。只有在最大的数比所有其它数之和小的时候继续考虑次大的数,才会慢慢向这个归纳靠拢。可以看到,这个问题的解答是思考过程的凝练,直接使用极端原理构造 k ,省去了一次递推,后面也基本没有废话,才使得解答如此短。

这就是答案的骗人之处。

因此,我们看解答的时候,要先理解它的做法,然后多问自己几个为什么。 数学竞赛题目的难度不在于解答长短,这里简而言之,是在于点子难以想到或者难以实现(并不完全准确,还有很多其它因素)。

比如,上面两个问题我们都问过为什么了之后,就会发现第二道题里面的归纳是不自然的,然后顺下去发现第二道题要难于第一道题。

对于学生来说,即便看答案,也要在充分思考后再看答案。答案的哪一步你没有想到,你就可以问问自己是为什么没想到,是因为知识不够牢固,工具不够如臂使指,还是因为题目本身就很难想到这一步。

对于老师来说,要求就更高了,老师可是没时间做题的。老师必须在看答案的过程中发现答案中的不自然之处,然后试图解释这种不自然之处的动机,并引导学生做题时向这种不自然之处去努力。

很多题目,答案的入手点很难想到,这种题目的解答基本只有前几句话是精髓。例如 2007 年 IMO 第 6 题,看解答只要看第一句话(顺带一提,那年不知道有意无意, 4, 5 题分别是几何和数论,没有组合,于是 6 还有组合的可能性,而且 6 的二维的情况是一个小学题目,估计会更加坚定考生用组合做的信念)。同样的问题还出现在 2009 年国家队选拔考试第 6 题,那个题怎么取模都没用,必须扔掉较小的数,考虑较大的数,才能得出矛盾。

也有些题目的结论难猜,例如 2010 年 IMO 第 5 题,看答案是一个初中级别的题目,但是那个题问的却是「是否」!相信如果题目改成证明存在,做出此题的人起码要多出一两倍。2016 年 IMO 第 2 题也与此类似。与此相似,有的时候答案会直接猜到一些极值,但实际上是要做很多尝试才能得到那个值,然后进行论证。

看了答案之后,需要提炼答案的精髓,而不是全篇照抄。所谓重剑无锋,大巧不工,很多时候答案的精髓不在于美轮美奂的变形,不在于高级的定理,而仅仅在于一次「不妨设」,一次「考虑……」或者一次「假设……」,上面第二个例题就是一个例子,后面的连续不等式只是末流的炫技而已,前面的归纳才是精髓。 看答案可以,但要多问问题;看答案没错,但要提炼精髓收为己用;看答案正常,但要理解为什么要这样做。

我真心希望我们未来的数学竞赛书籍的题目都有长长的分析,而不是干巴巴的答案。

当然,对于每个同学和每位老师来说,从答案中不应该仅仅明白这道题怎么做,而是应该看得更远。

Q. E. D.

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