这次中国队在罗马尼亚数学大师赛败北，引起巨大的舆论论战，甚至上了人民日报的评论。以前从来没出现过这种情况。作为吃瓜群众，觉得特别有意思。
1、2019 年大师赛的一些基本情况
罗马尼亚数学大师赛比赛一共 6 个题目，每个题目 7 分。每个国家队有 4 名正式队员，团体成绩取 4 名队员的前三名之和（即去掉表现最差的一名队员）。这种做法对表现最差的队员压力很大，被开除出团体了。
中国队派出了 6 名队员，其中 4 名正式队员，另外两名队员身份不明，可能算替补。其他国家中，韩国队和美国队都只有四名正式队员，但俄罗斯也有两名替补。
中国队的 4 名正式队员的成绩分别为 35 ， 23 ， 31 ， 35 （注意满分为 42 分）。去掉表现最差的 23 分，表现最好的三名正式队员总得分为 101。而美国队表现最好的三名队员得分分别为 40 ， 39 ， 38 ，总得分为 117 ，比中国队足足高了 16 分。除了美国队，还有俄罗斯、韩国、以色列、塞尔维亚四个国家的总分比中国队高。中国队的团体总分只排到第六名。
中国队有名替补的也得了 35 分，但不能计入团体成绩，否则总得分还能高 4 分。
成绩详情可见官网：http://rmms.lbi.ro/rmm2019/index.php?id=results_math。
2、大师赛第三题
这次中国队最大的失分点便在第三题。6 个队员在这一题上总共只得了区区一分，可以算是全军覆没。美国队团体分在这一题上得了 17 分。除这一题外的其它五个题，中国队和美国队是战平的。
韩国队在这一题上的表现也不好。如果不算这一题，韩国队就能排第一名。
2.1、第三题原题
那这一题到底是什么呢？题目如下：
Problem 3. Given any positive real number $\epsilon$, prove that, for all but finitely many positive integers $v$, any graph on $v$ vertices with at least $(1 + \epsilon)v$ edges has two distinct simple cycles of equal lengths.
(Recall that the notion of a simple cycle does not allow repetition of vertices in a cycle.)
Russia, Fedor Petrov
这个题目的distinct容易让人误解为这两个圈的顶点不能重合，但其实两个圈的边不完全一样就可以了。
翻译成中文为：
对任意$\epsilon >0$，当$v$足够大时，任意$v$个点，$(1+\epsilon)v$条边的无向图，必定存在两个相同长度的简单圈。其中简单圈是指图中顶点不重复的圈。
2.2、第三题的官方解答
官方解答见：http://rmms.lbi.ro/rmm2019/index.php?id=problems_math。
https://mp.weixin.qq.com/s/nZbym4t9rOKFP-5ROluL7g这里给出了翻译，其中的概率解法尤其精妙。
2.3、更直接的一个解答
这个从某个群里看到的，作者是大名鼎鼎的「付」。该证明非常直观和简单。
首先，可假设图中的简单圈的个数最多$v$个圈，否则已经必定存在同等长度的简单圈。
简单取 $m=\sqrt{v}$。假设图中的某条边存在于超过$m$个简单圈中，我们就去掉这条边，然后证明在剩下的图仍有相同长度的的简单圈（当$v$足够大时）。
持续这么操作，直到任何一条简单边最多属于$m$个简单圈。这个操作将去掉最多$v/m$条边，还剩下至少$v(1+\epsilon-\frac1m)$ 条边。
我们知道对于已经有$v+f$条边，至少有$1+f$个简单圈。因此剩下的边至少有 $c=v(\epsilon-\frac1m)$个简单圈。如果这些简单圈的长度都不一样，那么所有简单圈的长度之和至少为$1+2+\cdots+c=\frac{c(c+1)}2$。
从另一个角度，由于每条边最多属于$m$个简单圈，因此圈的边数总和最多为$s=v(1+\epsilon)m$。
这样我们有不等式：
但从数量级上看左边的$s \sim v^{\frac32}$，而右边的$\frac{c(c+1)}2 \sim c^2 \sim v^2$。对于足够大的$v$，该表示式不可能成立，因此必定存在长度相同的简单圈。
其实这种做法可以将多余的边数下降到$\sqrt{v}$的量级，即当边数大于$v+\Theta(\sqrt{v})$时，便必定存在长度相同的简单圈。
3、题目背景
在同一个群里，有人提到题目的背景，转发如下：
该题的原型来自数学大师 Erdos 提出的：即一个 v 个顶点的简单图，至少要加入多少条边才会出现 2 个长度一样的圈？
后来被图论大师 Bondy （滑铁卢大学，法国人）列入自己的著名教材 Graph theory with application 中作为 open problem。
一个很粗略的上界是$2v$，比较精确的上界在 1998 年由乔治亚州大学任教的陈冠涛教授提出为$v+O(c\sqrt{v})$，后来厦门大学赖老师证明了当$v$趋向无穷大的时候，$c$趋向 2.04。
RMM problem3 就是这个问题的弱化版本，证明上界小于$n+\epsilon n$。这是俄罗斯出的题目。
Q. E. D.
