魔方里的数学

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今天香港中文大学的Prof. Cai给我们上 graph algorithm。第一节课上教我们玩魔方,先给每人发了一个。我喜欢这样的教学方法 :) 。

魔方

魔方的解法,在网上已经有无数了,基本上的思路都是几个定式,玩的时候记住这些定式即可。课上 Cai 给我们演示了一个他自创的定式,很可惜,我目前为止只学会弄出一面来。

OK ,这篇文章的主要目的是讲魔方里的数学,对魔方的群结构研究网上也已经有很多,这里不谈了。魔方总共有(8! × 3^8−1^) × (12! × 2^12−1^)/2 = 43252003274489856000=4.3× 10^19^ 个不同的状态。每个状态看作图上的一个点,则解魔方问题可以视作求一个超大图上的路径问题。这个图是如此之大,使得看上去求最短路这么简单的问题都变得非常困难,事实上,用计算机也不可能直接算。

虽然这个图是如此之大,而且边很少(每个顶点只引出 12 条边),但这个图的直径却非常小。可以证明,任何一种魔方的状态,都可以在 26 步之内复原。(见Optimal solutions for Rubik's Cube)

这样的图与以前提到过的洗牌模型里面的图非常相似,结构简单,定点巨多,但混合速度却特别快(从一点会以非常快的速度达到其它点),做算法的很喜欢这种图。

Q. E. D.

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注:这篇文章是应 You XU 邀请的 guest blog。
「杀人」,英文名为"Mafia Game",广泛流传于国内外。上个星期我们在玩的时候被Elchanan Mossel发现,然后他给了一个 talk ,内容就是杀人的理论分析。