魔方里的数学

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今天香港中文大学的Prof. Cai给我们上 graph algorithm。第一节课上教我们玩魔方,先给每人发了一个。我喜欢这样的教学方法 :) 。

魔方

魔方的解法,在网上已经有无数了,基本上的思路都是几个定式,玩的时候记住这些定式即可。课上 Cai 给我们演示了一个他自创的定式,很可惜,我目前为止只学会弄出一面来。

OK ,这篇文章的主要目的是讲魔方里的数学,对魔方的群结构研究网上也已经有很多,这里不谈了。魔方总共有(8! × 3^8−1^) × (12! × 2^12−1^)/2 = 43252003274489856000=4.3× 10^19^ 个不同的状态。每个状态看作图上的一个点,则解魔方问题可以视作求一个超大图上的路径问题。这个图是如此之大,使得看上去求最短路这么简单的问题都变得非常困难,事实上,用计算机也不可能直接算。

虽然这个图是如此之大,而且边很少(每个顶点只引出 12 条边),但这个图的直径却非常小。可以证明,任何一种魔方的状态,都可以在 26 步之内复原。(见Optimal solutions for Rubik's Cube)

这样的图与以前提到过的洗牌模型里面的图非常相似,结构简单,定点巨多,但混合速度却特别快(从一点会以非常快的速度达到其它点),做算法的很喜欢这种图。

Q. E. D.

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注: 这个问题来自China Theory Week 2008的 Open Problems Session。
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不知道最初来源于哪里,这个数字我最早是从李笑来那里看到的,我看完之后随便搜了几个数字,觉得结果也大同小异,心想为何笑来突然关注这个数字。后来才发现网上被传得到处都是,包括我的老同学也参与了,最后发现其根源是下面这条「新闻」
2007 年,我们讨论过一个算法问题, perfect shuffle ,据称是个微软面试题:
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Google 新推出了图片搜索,可直接上传图片(或者用图片链接)搜索网络上的相似图片,例子。估计还没多少人意识到,这玩意儿是人肉搜索的大杀器,以后大家还是少上传私人照片到公开网络。
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这次中国队在罗马尼亚数学大师赛败北,引起巨大的舆论论战,甚至上了人民日报的评论。以前从来没出现过这种情况。作为吃瓜群众,觉得特别有意思。
注:这篇文章是应 You XU 邀请的 guest blog。
「杀人」,英文名为"Mafia Game",广泛流传于国内外。上个星期我们在玩的时候被Elchanan Mossel发现,然后他给了一个 talk ,内容就是杀人的理论分析。