从纳什均衡看旁观者效应

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系列:生活中的数学

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注:这篇文章是应 You XU 邀请的 guest blog。

1964 年 3 月 13 号凌晨 3 点,纽约酒吧经济 Kitty Genovese 在即将到达寓所时,遭到持刀暴徒的侵犯,她惊恐的尖叫并恳求帮助。但她的 38 户邻居,很多人走到窗户前观望了片刻,目睹她在歹徒手中挣扎,但直到歹徒离开,才有人打电话报警。但 Genovese 却未能得到及时救治很快就死去了。^[1]^

为什么 Kitty 的邻居没有一个人援助她?人们普遍归因于人的异化与冷漠。但心理学家有不同的看法,大量的实验和研究显示 在公共场所观看危机事件的旁观者越多,愿意提供帮助的人就越少 ,这被称为 旁观者效应

为什么会这样呢?心理学家

...猜测,当旁观者的数目增加时,任何一个旁观者都会更少地注意到事件的发生,更少地把它解释为一个重大的问题或紧急情况,更少地认为自己有采取行动的责任。^[1]^

下面用经济学中的纳什均衡 ^[2]^ 的方法定量地说明,在人数变多时,的确是任何一个人提供帮助的可能性变小,而且存在某人提供帮助的可能性也在变小!通俗的说,在开头的报警案例中,围观者(邻居)越多,报警的可能性越小! (这些来源于 2 年前与同学的讨论,只不过当时还不知道心理学上也有对应的分析。)

在这里假设人都是利益动物(也就说下面的分析不考虑社会心理学中提到的人的心理因素)。在最开始的抢劫案件中,假设有 \( n\) 个围观者,有人提供帮助(报警),每个人都能得到 \( a\) 的固定收益,但报警者会有额外损失 \( b\) (可以看成提供帮助所消耗的时间,精力或者报警者所可能遇到的危险——注意最近的彭宇案件)。容易知道,在 \( b>a\) 时, 一个完全理性的人不可能去 报警,所以我们只考虑 \( 0\leq b \leq a\) 的情形。我们来分析一下,在这个模型里面,每个人将如何行动?

按照上面的假定,对于某个人 A 而言,他的收益矩阵为:

其他 n-1 个人不报警 其他 n-1 个人有人报警
A 不报警 0 \( a\)
A 报警 \( a-b\) \( a-b\)

我们求上面的收益矩阵的纳什均衡,由于每个人都是对称的(暂且只考虑对称的纳什均衡),无妨假设每个人 不报警 的概率为 \( p\) ,不难得到纳什均衡在 \( p=(\frac{b}{a})^{\frac1{n-1}}\) 达到。注意 \( p\) 是随着人数 \( n\) 增大而增大的!更重要的是,存在某人报警的概率 \( 1-p^n=1-(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n-1}}\) 随着人数的增加而减少!

注意,上面的结果也提供了报警的概率与 \( \frac{b}{a}\) 的相关关系。

更多推断:

  • 相对而言,城市居民比小乡村居民更冷漠:在人少的地方获得帮助的可能性反而更大。
  • 朋友并不是越多越好的(?)
  • 求助时不要同时向若干人求助,即便如此也不要让他们互相知道。
  • 常在新闻里看到,一人受伤或者...,多少多少人围观,却没有人提供帮助。但从上面的分析可以看出,更多人看热闹并不代表着社会道德水平更低。
  • 一个社会的道德水平,如不考虑别的因素(社会和心理上的),将由 \( b\)\( a\) 的比值决定,而在受益 \( a\) 确定的情况下,完全由 \( b\) 决定,这里的 \( b\) 是提供帮助的成本(包括时间,精力,以及有可能遭致的打击报复,甚至忘恩负义者的反咬)。
  • 和谐社会,需要努力降低前面的 \( b\) 值,通过给与金钱上或者精神上的奖励。
  • 最近的彭宇事件,根据网络上的反应,这件事情大大提高了 \( b\) ,将导致 道德水平下降 。[ 西乔有一篇文章老太摔倒均衡点给出了类似的分析 ]

参考:

[1] David G. Myers, Social Psychology - 社会心理学 , P363-369.

[2] 纳什均衡 , 简单说来,纳什均衡是指相互作用的经济主体,每一方都在另一方所选择的战略为既定时,选择自己的最优战略。一旦双方达到了这种纳什均衡,都不会再有做出不同决策的冲动或激励。其最重要的案例是 囚徒困境

Q. E. D.

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注:来凑凑热闹,最先在 槽边往事 看到的,不过网上已经有相当多的 讨论
「杀人」,英文名为"Mafia Game",广泛流传于国内外。上个星期我们在玩的时候被 Elchanan Mossel 发现,然后他给了一个 talk ,内容就是杀人的理论分析。
为什么我们对于即将到来的事情,总是采取「什么都不做」的态度,即使这件事有非常大的收益?
今天香港中文大学的 Prof. Cai 给我们上 graph algorithm。第一节课上教我们玩魔方,先给每人发了一个。我喜欢这样的教学方法 :) 。