双信封悖论和围城效应

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系列:生活中的数学

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问题:你有两个信封可以选择,每个信封里有一定数量的钱,已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封,打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断:你应该更改你的选择

  1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为 A。
  2. A 是较小的钱数的概率为 1/2 ,为较大的钱数亦为 1/2。
  3. 如果 A 是较小的钱数,则另一个信封里钱数为 2A ;
  4. 如果 A 是较大的钱数,则另一个信封里的钱数为为 A/2。
  5. 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4 ,大于 A。
  6. 你应该更换你的选择。

想想看,这个问题和推断是不是有点像围城效应

很显然,上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条,如果上面推断中的第二条成立的话,我们假设 P(A)为两个钱包里的钱数为( A/2 , A )的概率,那么将有 P(A)=P(2A),从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布,这是不可能的。

上面这个问题以前就讨论过,最近一个同学问起这个悖论的变种:

问题:你有两个信封可以选择,每个信封里有一定数量的钱,已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的 10 倍。而且两个信封里的钱的数量是\( (10^n,10^{n+1})\) 的概率是\( 2^{-n}\) ,其中\( n=1,2,\cdots, +\infty\) 。你可以选择一个信封,打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断:你应该更改你的选择

  1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为 A。
  2. 如果\( A=1\) ,另外一个钱包有 10 块钱,你应该更换你的选择。
  3. 如果\( A>1\) ,另一个钱包为 10A 的概率为 1/3 ,有 A/10 块钱的概率为 2/3。
  4. 另一个钱包的期望钱的数量为 17A/5 ,大于已选的钱包的钱数 A。
  5. 你应该更换你的选择。

这个推断几乎没有问题,一句话的总结就是,在一个期望无限收益的游戏里,玩家不可能得到满足(达到期望值)。

Q. E. D.

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