双信封悖论和围城效应

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的两倍。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为 A。
2. A 是较小的钱数的概率为 1/2 ，为较大的钱数亦为 1/2。
3. 如果 A 是较小的钱数，则另一个信封里钱数为 2A ；
4. 如果 A 是较大的钱数，则另一个信封里的钱数为为 A/2。
5. 所以另一个信封里的钱数的期望为 E = 2A×1/2+A/2×1/2=5A/4 ，大于 A。
6. 你应该更换你的选择。

想想看，这个问题和推断是不是有点像围城效应？

很显然，上面的推断结果是有问题的。关键在于第二条，如果上面推断中的第二条成立的话，我们假设 P(A)为两个钱包里的钱数为（ A/2 ， A ）的概率，那么将有 P(A)=P(2A)，从而有一个定义在一个无穷集上的均匀分布，这是不可能的。

上面这个问题以前就讨论过，最近一个同学问起这个悖论的变种：

问题：你有两个信封可以选择，每个信封里有一定数量的钱，已知其中一个信封里的钱是另外一个信封的 10 倍。而且两个信封里的钱的数量是$(10^n,10^{n+1})$ 的概率是$2^{-n}$ ，其中$n=1,2,\cdots, +\infty$ 。你可以选择一个信封，打开之后你能看到其中的钱的数量。现在你可以选择是否更改你的选择。

推断：你应该更改你的选择

1. 假设你打开信封后发现里面钱的数量为 A。
2. 如果$A=1$ ，另外一个钱包有 10 块钱，你应该更换你的选择。
3. 如果$A>1$ ，另一个钱包为 10A 的概率为 1/3 ，有 A/10 块钱的概率为 2/3。
4. 另一个钱包的期望钱的数量为 17A/5 ，大于已选的钱包的钱数 A。
5. 你应该更换你的选择。

这个推断几乎没有问题，一句话的总结就是，在一个期望无限收益的游戏里，玩家不可能得到满足（达到期望值）。

Q. E. D.