求解 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4 的正整数解

作者: 张志强 , 2021-12-23 , 共 655 字 , 共阅读 0

这个问题时不时在网上流传开，尤其是以下面这个喜闻乐见的形式：

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4

这个不是数学本科以下可以解决的问题，最小的答案是：

a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

这篇论文提供一个更通用的解答：

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = N$

一些结论：

当 $N$ 为奇数时，方程没有正整数解（但可能有整数解）。这个也许有更简便的证明方法。
当 $N$ 为偶数时，方程可能有也可能没有正整数解，但有解的时候，解也可能超级大。有多超级呢，当 $N=896$ 时，最小的解都有几万亿位（注意是几万亿位，而不是几万亿）。

文章给出 $1\leq N \leq 200$ 时的解的位数情况：

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4 的正整数解位数

哔哩哔哩上对这个问题有个视频解说也可以一看。

Q. E. D.

在群里有人讨论了一个问题：一个序列

$A_k$ ，其中

$A_1=1$ ，后面的每个

$A_n$ 是前面的

$A_k$ 和

$A_k+k$ 里未出现的最小的正整数。问

$A_k$ 的通项公式。

IBM Ponder this 每个月会出一道谜题。这个月的题目是求所有的整数，它既是一个平方数，又是一个 triangular number （即可以表示为

$1+2+\cdots+m$ ）。

香山外环线，顾名思义，就是不进公园（不买票），绕着香山公园外面走一圈。可以顺时针也可以逆时针。一般在香山邮局出发，最后回到香山邮局。

求解 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4 的正整数解

类似文章：