求解 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4 的正整数解

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这个问题时不时在网上流传开,尤其是以下面这个喜闻乐见的形式:

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4

这个不是数学本科以下可以解决的问题,最小的答案是:

a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999
b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579
c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

这篇论文提供一个更通用的解答:

$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = N $$

一些结论:

  • $N$ 为奇数时,方程没有正整数解(但可能有整数解)。这个也许有更简便的证明方法。
  • $N$ 为偶数时,方程可能有也可能没有正整数解,但有解的时候,解也可能超级大。有多超级呢,当$N=896$时,最小的解都有几万亿位(注意是几万亿位,而不是几万亿)。

文章给出$1\leq N \leq 200$时的解的位数情况:

a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 4 的正整数解位数

哔哩哔哩上对这个问题有个视频解说也可以一看。

Q. E. D.

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