一个非常好的面试题。难度适中。
有三个随机变量$ A$ 、$ B$ 、$ C$ ，已知$ A$ 和$ B$ 之间的相关系数为$ \rho$ ，$ A$ 和$ C$ 之间的相关系数也等于$ \rho$ 。问$ B$ 和$ C$ 的相关系数的取值范围。
1、解答 1 ：
$ A, B, C$ 之间的协方差矩阵必须是半正定的（反向而言，任何半正定的矩阵都可以作为某个联合正态分布的协方差矩阵）。
假设$ x$ 为$ B$ 和$ C$ 的相关系数，我们事实上只需要解下面的方程即可求解$ x$ 的范围：
$$\text{det}\left(\begin{array}{ccc}1&\rho&\rho \\ \rho&1&x\\ \rho&x&1 \end{array}\right) \geq 0$$
这是一个关于$ x$ 的二次方程$ x^2-2p^2x+(2p^2-1)\leq 0$ ，直接得到$ x\in [2\rho^2-1,1]$ 。
同样的方法还可以解决下面这个题目：已知$ n$ 个随机变量，它们两两之间的相关系数都是$ \rho$ ，求$ \rho$ 的可能取值范围。
2、解答 2 ：
无妨假设$ \text{var}(A)=1$ ，$ \text{var}(B)=1$ ，$ \text{var(C)}=1$ 。此时$ B$ 和$ C$ 可以写成$ A$ 和其它两个与$ A$ 独立的随机变量的线性和：
$$\begin{array}{rcl}B&=&\rho A + \sqrt{1-\rho^2}B_1\\C&=&\rho A+\sqrt{1-\rho^2} C_1\end{array}$$
其中$ B_1, C_1$ 都是与$ A$ 独立的方差为 1 的随机变量。显然
$$\text{covar}(B_1,C_1)=\rho(B_1,C_1)\in[-1, 1]$$
从而：
$$\begin{array}{rcl}\rho(B,C) &=& \text{covar}(B,C) \\ &=&\text{covar}(\rho A + \sqrt{1-\rho^2} B_1,\rho A + \sqrt{1-\rho^2} C_1)\\ &=& \rho^2 \text{var}(A) + (1-\rho^2)\text{covar}(B_1,C_1) \\ &\in&[2\rho^2-1,1]\end{array}$$
3、解答 3 ：
如果我们将随机变量想象成多维空间里的向量，那么相关系数就是向量之间的夹角的 cos。也就是说$ A$ 和$ B$ 、$ C$ 的夹角都是$ \theta=\arccos\rho$ 。
从空间几何的角度看，$ B$ 和$ C$ 的夹角为$ [0, 2\theta]$ ，所以$ B$ 和$ C$ 的相关系数范围为$ [\cos2\theta, \cos 0] = [2\rho^2-1,1]$ 。
Q. E. D.
