从 AB 和 AC 的相关系数推导 BC 的相关系数范围

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系列:头脑风暴

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一个非常好的面试题。难度适中。

有三个随机变量\( A\)\( B\)\( C\) ,已知\( A\)\( B\) 之间的相关系数为\( \rho\)\( A\)\( C\) 之间的相关系数也等于\( \rho\) 。问\( B\)\( C\) 的相关系数的取值范围。

1. 解答 1 :

\( A, B, C\) 之间的协方差矩阵必须是半正定的(反向而言,任何半正定的矩阵都可以作为某个联合正态分布的协方差矩阵)。

假设\( x\)\( B\)\( C\) 的相关系数,我们事实上只需要解下面的方程即可求解\( x\) 的范围:

$$\text{det}\left(\begin{array}{ccc}1&\rho&\rho \\ \rho&1&x\\ x&1&\rho\end{array}\right) \geq 0$$

这是一个关于\( x\) 的二次方程\( x^2-2p^2x-(2p^2-1)\leq 0\) ,直接得到\( x\in [2\rho^2-1,1]\)

同样的方法还可以解决下面这个题目:已知\( n\) 个随机变量,它们两两之间的相关系数都是\( \rho\) ,求\( \rho\) 的可能取值范围。

2. 解答 2 :

无妨假设\( \text{var}(A)=1\)\( \text{var}(B)=1\)\( \text{var(C)}=1\) 。此时\( B\)\( C\) 可以写成\( A\) 和其它两个与\( A\) 独立的随机变量的线性和:

$$\begin{array}{rcl}B&=&\rho A + \sqrt{1-\rho^2}B_1\\C&=&\rho A+\sqrt{1-\rho^2} C_1\end{array}$$

其中\( B_1, C_1\) 都是与\( A\) 独立的方差为 1 的随机变量。显然

$$\text{covar}(B_1,C_1)=\rho(B_1,C_1)\in[-1, 1]$$

从而:

$$\begin{array}{rcl}\rho(B,C) &=& \text{covar}(B,C) \\ &=&\text{covar}(\rho A + \sqrt{1-\rho^2} B_1,\rho A + \sqrt{1-\rho^2} C_1)\\ &=& \rho^2 \text{var}(A) + (1-\rho^2)\text{covar}(B_1,C_1) \\ &\in&[2\rho^2-1,1]\end{array}$$

3. 解答 3 :

如果我们将随机变量想象成多维空间里的向量,那么相关系数就是向量之间的夹角的 cos。也就是说\( A\)\( B\)\( C\) 的夹角都是\( \theta=\arccos\rho\)

从空间几何的角度看,\( B\)\( C\) 的夹角为\( [0, 2\theta]\) ,所以\( B\)\( C\) 的相关系数范围为\( [\cos2\theta, \cos 0] = [2\rho^2-1,1]\)

Q. E. D.

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最有名的关于换还是不换的问题是三门问题,已经被研究得比较透彻。这里想说的是另外一个悖论。
这是一个老问题,最近有老同学问起,就在这里提一下吧。
类似文章:
2001 年, Journal of Fixed Income 上有篇论文题为On Default Correlation: A Copula Function Approach。这篇文章引入了衡量违约概率和违约相关性的模型,后来被交易员和评级公司广泛应用于 CDO 的定价和评级。2008 年该类产品的崩溃形成了次贷危机,也让其背后的作者李祥林声名大振。有人认为他是导致美国次贷危机的罪魁祸首,比如wired金融时报都刊登了专栏报道,里面有相当多的八卦,我这篇文章的标题也是借用这些报导的标题。
相似度: 0.082
这个题目听说是 MSRA 的面试题。
对于一个组合(比如一些债券的现券),假设使用另外一个资产(比如国债期货)进行对冲,那么不同的对冲数量下,组合 VaR 值的变化将如下图蓝线所示,对冲资产的增量 VaR将如红色线所示:
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发信人: GGGGDDDDK (忠贾诩发动乱武,反华佗没法急救别人了), 信区: SanGuoSha
标   题: 据说此题是入职腾讯游戏策划部门一道题 zz
发信站: 水木社区 (Mon Sep 20 11:10:40 2010), 站内
一个面试题,号称是微软的
题目来源:《A practical Guide to quantitative finance interviews》,解答和书上的可能不一样。
风险管理 » VaR Primer
VaR 衡量一个投资的收益的分位点,衡量未来在一定概率上的损失情况,但某些时候还不够,比如说卖出一个深度价外期权,它的 VaR 为 0 ,但这不代表它没有风险。这类风险被称为尾部风险,可以用 ES 来衡量。
毛毛虫爬棍子,有三个变体:
编程 » Matlab
第一步,which函数可用来获取 Matlab 函数的全路径(包含路径和文件名)。
小米路由器是小米最近推出的一款产品,其主要卖点是自带硬盘和迅雷下载。我买一个,已经用了一个星期,在这里说一下感受吧。