前两天搞葛立恒数，写了一篇。后来感觉没写清楚，再写一篇吧。常常学习，有助于在 AI 时代保持基本智力能力。
要理解葛立恒数，主要是要理解高德纳箭头运算符 $\uparrow$、$\uparrow\uparrow$、$\cdots$、$\uparrow\uparrow\cdots\uparrow$。其实它的定义非常自然，可以简单地理解成加法、乘法、乘方的扩展。
乘法可以认为是加法的重复，$b$ 个 $a$ 相加：
乘方可以认为是乘法的重复，$b$ 个 $a$ 相乘：
高德纳箭头其实就是这么递归定义的（注意从右往左算）：
右边是 $b$ 个 $a$。再给定初始值，分别为乘法和乘方：
我们看一下乘方的重复是什么：
它是 $b$ 个 $a$ 摞成的幂塔。注意这个计算是从右上往左下算的：$3^{3^3}$ 是 $3^{27}$，而不是 $27^3$。前者是 7 万亿，后者不到 2 万。
$a\uparrow^2 b$ 还在人类的直观理解范围以内，$a\uparrow^3 b$ 已经无法直观理解了，但可以大致解释如下：
- 生成一个 $a$ 层的 $a$ 的幂塔，得到一个数；
- 生成一个 $a$ 的幂塔，层数为上一步得到的数；
- 不断重复上面的步骤，一共执行 $b-1$ 次。
回到葛立恒数，定义如下：
这里要注意递推的量是箭头数：$G_{n+1}=3\uparrow^{G_n}3$ 是箭头有 $G_n$ 个，而不是把塔高设成 $G_n$。
$A_3$ 是最后一个人类可以在形式上直观理解的数：
这座幂塔的层数是 $A_2=3\uparrow^2 3=7\,625\,597\,484\,987$，也就是 7 万亿多层。
但这个数已经不可能在物理世界里出现了。只要世界是离散可分的，那么在可以想象的时间范围、在可以想象的空间范围，考虑所有可能的粒子状态，整个宇宙的可描述状态不会超过 5 层幂塔。而 $A_3$ 的幂塔有 7 万亿层。
$G_1$ 是人类还可以大致想象的最后一个大数：
它可以如下迭代产生：
- 构建一个 3 的幂塔，层数为 $A_3$，得到一个数；
- 构建一个 3 的幂塔，层数为上一步得到的数；
- 不断重复上面的步骤，一共执行 $A_3-2$ 次。
就这么说吧，光是第一步得到的数，都远远超过「以宇宙可描述状态数为层数的幂塔」。更别提这样的操作还要做 $A_3-2$ 次。
而葛立恒数被定义为 $G_{64}$。这里的 64 并没有特殊含义。这里面每一个都不能被直观理解了，是哪个都无所谓，在大数领域没有明显区别。
Q. E. D.
