最近迷上了学习超级大数，就是那种特别特别大的数，超乎想象的大。这其中最有名的就是葛立恒数。
葛立恒数一般用所谓的高德纳箭头来手写：
$$M_{x,y} = 3\uparrow\cdots\uparrow y,\ \ 其中有 x 个 \ \uparrow$$
这个符号是如下递归定义的：
$$M_{1, y} = 3 \uparrow y = 3^y$$
$$M_{x, 1} = 3$$
$$M_{x,y}=M_{x-1, M_{x,y-1}}, \ \forall x,y>1$$
再记：
$$F_x = M_{x,3}$$
然后葛立恒数定义如下：
$$G_1 = F_4 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$$
$$G_n = F_{G_{n-1}}$$
葛立恒数即 $G_{64}$。这个数有多大呢？我们都不用看$G_{64}$，直接看$G_1=3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3$吧。
即使是$G_1=F_4$都太太太大了。为了理解它有多大，看序列$F_1$，$F_2$，$F_3$吧：
$$F_1 = 27$$
$$F_2 = M_{2,3} = 3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} \approx 7 万亿$$
事实上
$$3\uparrow\uparrow n = M_{2,n}= 3^{3^{\cdots^3}}， n 个 3 的幂塔$$
这个数还不是很离谱是吧，那 $F_3 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3$：
$$3 \uparrow \uparrow \uparrow 2 = M_{3,2}=M_{2,M_{3,1}}=M_{2,3}=F_2$$
$$F_3 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3\uparrow \uparrow ( 3 \uparrow \uparrow \uparrow 2) = 3 \uparrow \uparrow F_2$$
$F_3$直观点就是 7 万亿个 3 的幂塔 $3^{3^{3^{\cdots^3}}}$。这也是最后一个人类可以直观理解的大数。
7 万亿个 3 的幂塔 $3^{3^{3^{\cdots^3}}}$到底有多大？ 3 个 3 的幂塔是 7 万亿， 4 个 3 的幂塔就是 3 的 7 万亿次方。
假设宇宙是离散的（比如物质和能量都存在普朗克常数），整个宇宙的状态数都不会超过 5 个 3 的幂塔。而$F_3$是 7 万亿个 3 的幂塔。
$G_1=F_4$完全不可理解具体长相了。非要说的话，就是取$F_3$个 3 的幂塔得到一个数，再取这个数这么多的 3 的幂塔，再取这个新数这么多的 3 的幂塔，这样重复$F_3$次。
其实更有意思的是 TREE3 ，下次再写。
Q. E. D.
