实数上的可数颜色染色问题

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命题:实数集\( \mathcal{R}\) 上的任何一个可数种颜色染色方案,都存在四个不等的同色点\( x, y, z, w\) 使得\( x+y=z+w\)

这个问题是一个月前在Computational Complexity看到的。前两天在测不准原理还是不确定性原理我提到了不可证明问题,今天顺便把上面这个问题拿出来溜一溜。

这是一个非常非常自然的问题,看上去就是一个普通的组合问题,类似于 Ramsey 问题的变种,而且研究这个问题的(包括Erdos!)也多数是组合学家。但其答案却出人意料,因为这个问题被证明是不可证明的,它独立于 ZFC 公理体系:

定理:此命题成立当且仅当连续统假设不成立。

而连续统假设在上个世纪七十年代便已经证明了独立于 ZFC。

上面等价性定理的证明在这里(pdf ,英文)。证明过程很短。即便我对集合论了解甚少,对我来说除了 Fact 1.3 之外,其余的都很好懂。

PS :做算法和复杂性的不要错过这个 blog :Computational Complexity。从 blog 标题就能看出它的内容了。

PS2 :网友 yue 给我推荐了一个信息和数学类的 blog ,Matrix67,据称内容为 50% Informatics, 50% Mathematics, and 50% Imagination。令人惊奇的是, blog 作者居然是北大中文系的。这位兄弟如此喜欢数学,完全可以向其前辈学习一下,从中文系转系到数学系去,这是有过先例的。

Q. E. D.

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注: 这个问题来自China Theory Week 2008的 Open Problems Session。
Game Theory 即博弈论,目前在经济学中运用得最多(纳什更因为他在这上面的工作拿到了诺贝尔经济学奖)。但在最近几年,理论计算机界对它的研究也很热。
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