mosek 优化器里处理优化问题的无解情况

线性或二次优化经常会碰到无解情况。一个典型的线性或二次优化问题如下：

$\begin{array}{rl} \max_w & \alpha w \\ s.t. & \\ & l_w \leq w \leq u_w \\ & l_C \leq Cw \leq u_C \\ & w \in Q \end{array}$

除了数据精度等问题外， MOSEK 优化器会提示下面几种无解情况：

PRIME INFEASIBLE
DUAL INFEASIBLE

当然有时候两个都 INFEASIBLE。其中 PRIME INFEASIBULE 主要是指限制条件互相冲突了，没有可行解。DUAL INFEASIBLE 是指对偶形式的限制条件。

DUAL INFEASIBLE 通常表明在给定限制条件下，目标函数的方向反了，最优值可能是无穷大。这种情况在日常中不太容易出现（一般是max和min写反了）。我们最常见需要解决的是 PRIME INFEASIBLE ，也就是找出那些冲突的限制条件。以 C++为例：

第一步：在 C++代码里导出问题到文件

model->writeTask("./dump.task");

如果是在 Python 中：

with Model("your problem") as model:
    # your problem, variables and conditions

    model.writeTask("./dump.ptf")

mosek 在导出时有三种格式： odf, ptf, task。其中 odf 是早期版本， ptf 支持更复杂的模型且可读， task 是二进制文件。所以优先选用 ptf 文件格式。

对于不支持的模型，.odf 会提示以下错误：

mosek.Error: rescode.err_invalid_file_format_for_affine_conic_constraints(4012):

The file format does not support a problem with affine conic constraints. Use the PTF format instead.

注意都升级 mosek 以及 Python 包到最新版本。如果 mosek 版本和 mosek 的 Python 包版本不兼容，如果是 ptf ，在 mosek 进行处理时会提示无法识别格式的错误：

Reading started.

MOSEK error 1090: The specified format cannot be read. The format code is 6

如果 mosek 版本和 mosek 的 Python 包版本不兼容，在读取 task 导出文件时可能会提示：

Reading started.

MOSEK error 2561: The Task file is invalid.

第二步：在命令行运行诊断命令

mosek dump.opf --infrepo -d MSK_IPAR_INFEAS_REPORT_AUTO 1 -q mose.log

如果提示找不到 mosek 或无输出，将mosek的路径写全，

/opt/3rd/mosek/10.1/tools/platform/linux64x86/bin/mosek dump.opf --infrepo -d MSK_IPAR_INFEAS_REPORT_AUTO 1 -q mosek.log

然后在mosek.log里可以看哪些条件不满足，类似于下面这个：

MOSEK PRIMAL INFEASIBILITY REPORT.

Problem status: The problem is primal infeasible

The following constraints are involved in the primal infeasibility.

Index    Name                       Lower bound      Upper bound      Dual lower       Dual upper
5229     condition[2]               unimportant      1.000000e-02     -0.000000e+00    -1.000000e+00

The following bound constraints are involved in the infeasibility.

Index    Name                       Lower bound      Upper bound      Dual lower       Dual upper       Dual cone
4        weights[3]                 -1.728642e-03    unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
8        weights[7]                 -1.561579e-03    unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
22       weights[21]                -1.350838e-03    unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
24       weights[23]                -1.430027e-03    unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
31       weights[30]                -4.973163e-03    unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
65       weights[64]                9.658339e-06     unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
66       weights[65]                1.240400e-06     unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
68       weights[67]                6.213882e-03     unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00
69       weights[68]                -1.487085e-03    unimportant      -1.000000e+00    -0.000000e+00    -0.000000e+00

比如上面提到是condition的第二行无法满足，对应的冲突限制条件也列出来了。dump.opf里可以查到condition[2]的表达式，它是那些weights之和。这里的冲突很简单，就是weights都给了下界，加起来也会有一个下界，而这个下界超出了condition[2]约定的的上界，从而引发一个冲突。

另注： mosek 的 fusion 是需要单独编译安装的，参考下面步骤即可：https://docs.mosek.com/latest/cxxfusion/install-interface.html#testing-the-installation-and-compiling-examples。

Q. E. D.

C++对一个有序序列[first, last)（first、last都是iterator，可简单理解为位置指针），以及指定值v，标准库直接提供二分查找的函数std::lower_bound和std::upper_bould：

箭扣最精华的一段，从涧口，途径天梯、鹰飞倒仰、北京结，到西大墙西山。全程接近 9 公里，爬升 550 米。路程和爬升都不大，但路极其艰险。

mosek 优化器里处理优化问题的无解情况

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