15 puzzle

作者: , 共 944 字

注:此游戏很有名,有同学问我其算法,我在网上找了一下,居然没多少中文资料,这里按照以前看过的一份答案回忆整理贴出。

游戏规则很简单, \( 4\times4\) 的方格里有 15 个方格块,标记为 1 , 2 到 15 ,有个位置是空的。每次方块可以滑动到旁边的空格中(与华容道类似)。问是否可以变成左下图这种状态?

一个明确的问题是从左下图这种状态变到右下图的标准状态。听说有人靠卖这个积木游戏赚了大钱,并且设定了一个高额奖金。

  1    2    3    4    ->      1    2    3    4       
  5    6    7    8    ->      5    6    7    8       
  9   10   11   12    ->      9   10   11   12      
 13   15   14         ->     13   14   15           

定理:记空格为 16。初始状态为 \( 1,2,\cdots, 16\) 的一个排列 \( \pi\) 。方格黑白相隔染色。当且仅当 \( \pi\) 为偶排列且空格位于白色格 或者 \( \pi\) 为奇排列且空格位于黑色格,可以移动到标准状态。

必要性:每次移动, \( \pi\) 的奇偶性都改变,空格所在格子颜色亦发生改变。

充分性:按照 1,2,3,4,5,9,13,6,7,8,10,14,11,12,15 的顺序把格子移到正确的位置上即可。

推论:故从右上图是不可能变成左上图的。没有人能拿到奖金。

注 1 :一个排列 \( \pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_n\) 的奇偶性定义为 \( \prod_{i>j}(\pi_i-\pi_j)\) 的符号。正为偶排列,负为奇排列。任意调换两个数的位置都会改变其奇偶性。

注 2 :此结论和证明对 \( n\times n, n\geq 2\) 的情形都有效

附录

Q. E. D.

类似文章:
在 MIT BBS 上看到一个有趣的题目
本文将证明: 最佳约会策略 里提到策略,忽略前 37% 的对象,然后在剩下的对象里挑第一个比前 37% 都好的对象,这个策略是最优的。更准确地,我们将证明:任何约会策略的成功概率都不可能超过 \( \frac{u}{n}\sum_{i=u}^{n-1}\frac1i\) ,其中 \( u\) 为满足 \( \sum_{i=u}^{n-1}\frac1i\geq 1\) 的最大值。这个 \( u\) 大约为 37%,最后成功的概率大约为 40%。
以前提到过,理论计算机这门课会邀请一些正在这边访问的教授来讲课,由于是本科生,所以这些教授一般都是讲些有趣的东西,比如之前的 overhang 堆积木 - 能伸出桌面多远? 。今天这次课,来自 Aarhus 的 Peter Bro Miltersen 讲了一个很有趣的游戏问题。
数学 » 圆周率
今天 gezhi 上有一篇关于 \( \pi\) 的八卦文章,里面讲到了 \( \pi\) 的计算问题。但我对其中的一些数据起了疑心,并不是说数据错了,而是作者所用的数据实在是太老了。
注 : 这个问题来自 China Theory Week 2008 的 Open Problems Session。
编程 » Baidu, Google, IT评论
Google 更懂中文我拿不出什么确切的证据(虽然我已经这样认为),但下面的数据是否能说明 Google 确实更懂 阅微堂 呢?
转载的。作者 84 年的。同龄的都看看吧。